Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 1  (Okunma sayısı 2048 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 1
« : Haziran 18, 2022, 08:31:10 ös »
$x^2+y^2+x+y=xy(x+y)-\dfrac{10}{27}$
                  $|xy| \leq \dfrac{25}{9}$

koşullarını sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini bulunuz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.345
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2018 Soru 1
« Yanıtla #1 : Haziran 26, 2022, 12:17:53 öö »
$x+y=a$ ve $xy=b$ diyelim. Verilen bilgiler $$a^2-2b+a=ab-\dfrac{10}{27}\implies b=(a-1)+\dfrac{64}{27(a+2)}$$ $$-\dfrac{25}{9}\leq b\leq \dfrac{25}{9}$$ olacaktır ($a=-2$ iken çözüm olmadığı kontrol edilebilir). Ayrıca $(x+y)^2\geq 4|xy|$ olduğundan $$\dfrac{a^2}{4}\geq b\geq -\dfrac{a^2}{4}$$ olacaktır. İki eşitsizliği birleştirirsek $$\min\left\{\dfrac{25}{9},\dfrac{a^2}{4}\right\}\geq b=a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\min\left\{\dfrac{25}{9},\dfrac{a^2}{4}\right\}$$

Eğer $a\geq\dfrac{10}{3}$ veya $a\leq -\dfrac{10}{3}$ ise $\dfrac{25}{9}\leq \dfrac{a^2}{4}$ olacaktır. $$\dfrac{25}{9}\geq a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\dfrac{25}{9}\implies 75(a+2)\geq 27a^2+27a+10\geq -75(a+2)$$ $$0\geq (9a+14)(3a-10)~~~\text{ ve }~~~\dfrac{(9a+17)^2}{3}+\dfrac{191}{3}\geq 0$$ $a>\dfrac{10}{3}$ veya $a\leq -\dfrac{10}{3}$ ise $0<(9a+14)(3a-10)$ olacaktır. Dolayısıyla $a=\dfrac{10}{3}$ olacaktır. Yerine yazarsak $b=\dfrac{25}{9}$ çıkar. $x$ ve $y$ için çözersek $(x,y)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right)$ bulunur.

Eğer $-\dfrac{10}{3}<a<\dfrac{10}{3}$ ise $\dfrac{25}{9}>\dfrac{a^2}{4}$ olacaktır. $$\dfrac{a^2}{4}\geq a-1+\dfrac{64}{27(a+2)}\geq -\dfrac{a^2}{4}\implies 27a^2(a+2)\geq 108(a-1)(a+2)+256\geq -27a^2(a+2)$$ $$\implies 0\leq (3a+2)^2(3a-10)~~~\text{ve}~~~27a^3+162a^2+108a+40\geq 0$$ $-\dfrac{10}{3}<a<\dfrac{10}{3}$ olduğundan $a\neq -\dfrac{2}{3}$ ise $0>(3a+2)^2(3a-10)$ olacaktır. Dolayısıyla $a=-\dfrac{2}{3}$ olmalıdır. Bu değer için $27a^3+162a^2+108a+40\geq 0$ sağlanır. Yerine yazarsak $b=\dfrac{1}{9}$ elde edilir. $x$ ve $y$ için çözersek $(x,y)=\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$ çözümünü buluruz.

Tüm çözümler $(x,y)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3}\right),\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}\right)$'dir.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 10:43:16 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal