(Doğan Dönmez):
$\text{der}P^2(x) = 2\cdot \text{der}P(x)$ ve $\text{der}P(Q(x))=\text{der}P(x) \cdot \text{der}Q(x)$ tir. Bu iki ifade eşitlenirse $\text{der}Q(x)=2$ bulunur. $\text{der}P(x)=n$ diyelim.
$a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayıları $P(x)$ in farklı kökleri olsun ($1\leq k\leq n$). Tüm kökleri gerçel olduğu için bir $c\neq 0$ gerçel sayısı ve bazı $m_i\geq1 $ tam sayıları için,
$$ P(x)=c(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_k)^{m_k} $$
şeklinde olur.
$$ (P(x))^2=c^2(x-a_1)^{2m_1}(x-a_2)^{2m_2}\cdots(x-a_k)^{2m_k} $$
olup onun da kökleri gerçeldir ve $k$ tane farklı gerçel kökü vardır. (Ve kökler $a_1,a_2,\ldots,a_k$ sayılarıdır ama bunu kullanmayacağız.)
$$ (P(x))^2=P(Q(x))=c(Q(x)-a_1)^{m_1}(Q(x)-a_2)^{m_2}\cdots(Q(x)-a_k)^{m_k} $$
Bu polinomun da tüm kökleri gerçel olduğu için, her bir $Q(x)-a_i$ çarpanının da kökleri gerçeldir (diskriminatı: $\Delta \geq 0$). Bu, her bir $a_i$ sayısının, $Q$ nun görüntüsünde olmasına eşdeğerdir.
$Q(x)-a_i$ polinomlarının en çok bir tanesi için $\Delta = 0$ olabilir. Çünkü geometrik olarak, $Q(x)-a_i$ türü polinomlar $Q(x)$ polinomunun $y$ eksenine paralel olarak kaydırılması ile elde edilmiştir ve $Q(x)-a_i$ polinomları arasında $x$ eksenine teğet olan varsa, en fazla bir tanesi teğet olabilir. (Aynı gerçek cebirsel olarak da kolayca ifade edilebilir.) Diğer çarpanların ($\Delta > 0 $ olanlar için) 2 farklı gerçel kökü var olacaktır. Ayrıca, $i \neq j$ için, $a_i-a_j\neq 0$ olduğundan $Q(x)-a_i$ ve $Q(x)-a_j$ polinomlarının ortak kökü olamaz. Eğer böyle bir ortak $x_0$ kökü olsaydı $Q(x_0)-a_i=0$, $Q(x_0)-a_j=0$ olup $a_i = a_j$ çelişkisi elde edilirdi.
Buradan şu sonuca varırız:
Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından tam olarak birisi için $\Delta = 0 $ ise $P(Q(x))$ in $2(k-1)+1=2k-1$ farklı gerçel kökü vardır.
Eğer $Q(x)-a_i$ çarpanlarından hepsi için $\Delta > 0 $ ise $P(Q(x))$ in $2k$ farklı gerçel kökü vardır.
$P(x)^2$ nin $k$ tane farklı gerçel kökü olduğu için, her iki tarafın farklı gerçel kök sayısı aynı olması, sadece $k=1$ ve $Q(x)-a_1$ için $\Delta =0$ iken olacaktır.
Böyle bir durum örneği bulmak da zor değil: Her $n\geq 1$ için $P(x)=x^n$ nin tüm kökleri gerçel olup, farklı köklerin sayısı $1$ dir. $Q(x)=x^2$ için eşitlik sağlanır.
