3 Bilinmeyenli Denklem

[Metin Can Aydemir]

$x,y,z\in \mathbb{Z}$ $$x^3-6x^2-2x+36=y+z$$ $$y^3-6y^2-2y+36=x+z$$ $$z^3-6z^2-2z+36=x+y$$ sağlayan tüm $(x,y,z)$ tamsayı üçlülerini bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

i) $x,y,z$ birbirinden farklı ise,
Verilen denklemler düzenlenirse, $$x^3-6x^2-x+36=x+y+z$$ $$y^3-6y^2-y+36=x+y+z$$ $$z^3-6z^2-z+36=x+y+z$$ $x+y+z=A$ diyelim. $f(t)=t^3-6t^2-t+36-A$ olarak tanımlayalım. $x,y,z$ bu polinomun kökleri olduğundan vietta teoreminden $A=x+y+z=6$ bulunur.
Buradan $f(t)=t^3-6t^2-t+30=(t+2)(t-3)(t-5)$ bulunur. Buradan $(x,y,z)=(-2,3,5)$ ve permütasyonları bulunur.
ii) $x=y=z$ ise $$x^3-6x^2-4x+36=0\Rightarrow x=2k \Rightarrow 8k^3-24k^2-8k=-36$$ sol taraf $8$ e bölünürken sağ taraf bölünmüyor.Çelişki

iii)$x\neq y=z$ olsun. $$x^3-6x^2-2x+36=2y \Rightarrow x=2k \Rightarrow y=2m$$  Eğer ilk iki denklemi birbirinden çıkarırsak $$(x-y)(x^2+xy+y^2-6x-6y-1)=0$$ bulunur.$x\neq y$ olduğundan $x^2+xy+y^2-6x-6y-1=0$ olur. Fakat $x$ ve $y$ çift olduğundan bu imkansızdır.Çelişki