Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 33

[Lokman Gökçe]

$x^2+ax+2a=0$ denkleminin bütün kökleri tamsayı olacak şekilde seçilebilecek $a$ reel sayılarının sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Denklemin tamsayı kökleri $m,n$ olsun. Vieta formüllerinden $m+n=-a$, $mn=2a$ olur. İki tamsayının toplamı da bir tamsayı olduğundan $a$ bir tamsayıdır. Bu denklemlerden
$$\begin{array}{lcl} 
mn & = & -2(m+n) \\
m(n+2)  & = & -2n \\
m & = & \dfrac{-2n}{n+2} =  -2 + \dfrac{4}{n+2}
\end{array}$$
olup $(n+2) \mid 4$ tür. Buradan $n \in \{ -6, -4, -3, -1, 0, 2\}$ olur. Bu $n$ değerlerine karşılık $m$ nin değerleri sırasıyla $m\in \{-3,-4,-6, 2, 0, -1 \}$ olur. Böylece $a=-(m+n) \in \{ 9, 8, -1, 0 \}$ biçiminde dört değer elde edilir.