Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 15

[Egemen]

Kenar uzunluğu $5$ birim olan $ABCD$ karesinin $[AB], [BC], [CD], [DA]$ kenarlar üstünde $|AE| = |BF| = |CG| = |DH| = 3$ olacak biçimde sırasıyla, $E, F, G, H$ noktalar alınıyor. $A, B, C, D$ noktalarından geçen çemberin sınırladığı dairenin alanının, $EFGH$ karesine içten teğet olan çemberin sınırladığı dairenin alanına oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13}{5}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{13} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{45}{13} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{13}{4} \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$A,B,C,D$ noktalarından geçen çemberin yarıçapı, $ABCD$ karesinin köşegen uzunluğunu yarısı yani $\dfrac{5\sqrt2}{2}$'dir.
$EFGH$ karesine içten teğet olan çemberin yarıçapı şekildeki gibi $EFB$ üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanarak $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ olarak bulunur.
O halde $A,B,C,D$ noktalarından geçen çemberin sınırladığı dairenin alanı, $\pi\cdot\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{25\pi}{2}$
$EFGH$ karesine içten teğet olan çemberin sınırladığı dairenin alanı ise, $\pi\cdot\left(\dfrac{\sqrt{13}}{2}\right)^2=\dfrac{13\pi}{4}$
Oranlarsak $\dfrac{50}{13}$ buluruz.