Grup ve ikili işlem

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $(G,\cdot)$ bir grup ve $x,y \in G$ ise $(y^{-1}xy)^4$ aşağıdakilerden hangisine daima eşittir?

$
\textbf{a)}\ y^{-4}x^4y^4
\qquad{b)}\ y^4x^4y^{-4}
\qquad{c)}\ y^{-4}xy^4
\qquad{d)}\ y^{-1}x^4y
\qquad{e)}\ x^4
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

$G$ bir grup olduğundan ve grupta bir elemanın $n$ inci kuvveti  elemanın kendisiyle $n$ defa çarpılması (işleme girmesi) olarak tanımlandığından $e$  grubun birim elemanı olamak üzere $(y^{-1}xy)^4=y^{-1}xy\cdot y^{-1}xy\cdot y^{-1}xy \cdot y^{-1}xy=y^{-1}x\cdot e\cdot x\cdot e\cdot x\cdot e\cdot xy=y^{-1}x^4y$  bulunur. Grup, Abel grup olmadığı sürece $(xy)^n=x^ny^n$  olmadığına dikkat etmek lazım.