Kanada sorusu {çözüldü}

[KereMath]

$P$, $\omega$ çemberi içerisinde bir nokta olmak üzere $P$'yi içeren kirişlerin kümesini düşünün. Bu kirişlerin orta noktaları bir çember üzerindedir. Gösteriniz.


EDİT: Kerem Recep bey, sorunun yılı ve yarışmanın ismi ile ilgili bilgileri de eklerseniz iyi olur. Sadece Kanada sorusu başlığı çok genel oluyor. Arama yapıldığında kolay erişim için başlığınızın ayırtedilebilir olması önemlidir. (Scarface)

[Lokman Gökçe]

$\omega$ çemberinin merkezi $O$ olsun. Problem $O \neq P$ iken geçerlidir. Bunun verilmesi gerekir. Aksi halde $O=P$ durumunda $P$ den geçen tüm kirişler ''çap'' olup bunların orta noktası daima $O$ merkezidir. Yani orta noktalar kümesi çember belirtmez, nokta belirtir.

Şimdi $P$ noktasının merkezden farklı olduğunu düşünelim.
$P$ ve $O$ noktalarından geçen kiriş $[AB]$ olsun. $[AB]$ çapının orta noktası $O$ olduğundan, $O$ noktası geometrik yerin bir elemanıdır.
Şimdi $P$ den geçen ve $[AB]$ çapına dik olan $[CD]$ kirişini çizelim. $[CD]$  kirişinin orta noktası $P$ olduğundan, $P$ noktası da geometrik yerin bir elemanıdır.
Şimdi de $P$ noktasından geçen fakat $[AB],[CD]$ den farklı herhangi bir $[EF]$ kirişi çizelim. Bu kirişin orta noktası $R$ olsun. $OR \perp EF$ olduğundan $m(\widehat{PRO})=90^\circ$ dir. Sabit $[PO]$ doğru parçasını sabit $90^\circ$ lik açıyla gören $R$ noktalarının geometrik yeri $[PO]$ çaplı çemberdir.

[Lokman Gökçe]

Bu soruya benzer olarak şöyle bir soru türetebiliriz:

Soru: $O$ merkezli $\omega$ çemberi ve bu çemberin dışında bir $P$ noktası veriliyor. $P$ noktasından geçen ve çemberle kesişen doğruların, çemberde oluşturduğu kirişlerin orta noktalarının geometrik yeri nedir?

Çözüm: $PO$ doğrusu çemberi $A$ ve $B$ noktalarında kessin. $[AB]$ çapının orta noktası $O$ dur. Yani $O$, geometrik yerin bir elemanıdır.
Şimdi $P$ den geçen, $O$ merkeziden geçmeyen herhangi bir doğru çizelim. Bu doğru çemberi $C$ ve $D$ noktalarında kessin. $[CD]$ kirişinin orta noktasına $R$ diyelim. $OR\perp CD$ olduğundan $m(\widehat{PRO})=90^\circ $ dir. Sabit $[PO]$ doğru parçasını sabit $90^\circ $ lik açı ile görenn oktaların geometrik yeri $[PO]$ çaplı çemberdir. Bu çemberin, $\omega$ çemberi ile kesişim noktaları $E$ ve $F$ olsun. Aradığımız $R$ noktaları $w$ çemberinin iç bölgesinde ya da üstündedir. Böylece aranan geometrik yer, ikinci çemberin $EOF$  yayıdır.