Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 05

[Squidward]

$C$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninde $4|AC| = 3|BC|$ dir. $ABC$ nin iç teğet çemberi $BC$ ye $D$ de, $AC$ ye ise $E$ de teğettir. $AD$ doğrusu iç teğet çemberi $D$ den farklı bir $S$ noktasında, $BE$ doğrusunu ise $T$ noktasında kesiyor. $\dfrac{|AS|}{|TD|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{3} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{11}{7} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{18}{11} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{22}{15}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$|AC|=3k$, $|BC|=4k$ olsun. $|CE|=|CD|=\dfrac{|AC|+|BC|-|AB|}{2}=k$ olur. Menalaus teoreminden $$\dfrac{|BD|}{|BC|}\cdot \dfrac{|CE|}{|EA|}\cdot \dfrac{|AT|}{|TD|}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{|AT|}{|TD|}=1\Rightarrow \dfrac{|AT|}{|TD|}=\dfrac{8}{3}\Rightarrow \dfrac{|AD|}{|TD|}=\dfrac{11}{3}\Rightarrow |TD|=\dfrac{3|AD|}{11}$$

Kuvvet teoreminden $$|EA|^2=|AS|\cdot|AD|\Rightarrow |AS|=\dfrac{|EA|^2}{|AD|}$$ $$\Rightarrow \dfrac{|AS|}{|TD|}=\dfrac{11}{3}\cdot (\dfrac{|EA|}{|AD|})^2$$ $ADC$ üçgeninde pisagordan $|AD|=k\sqrt{10}$ bulunur. Aynı zamanda $|AC|-|CE|=|EA|=2k$ olur. Buradan $$\dfrac{|AS|}{|TD|}=\dfrac{11}{3}\cdot \dfrac{4k^2}{10k^2}=\dfrac{22}{15}$$ bulunur.