Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2002 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$AD$ nin $BC$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda, $|AC| = 8$ ve $|BD| = 6$ dır. $[AD]$ ve $[BC]$ nin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $S$ olmak üzere, $|PS| = 5$ ise, $ABCD$ yamuğunun alanını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$[AB]$, $[CD]$ kenarlarının orta noktaları da sırasıyla $R$ ve $T$ olsun. $PRST$ bir paralelkenardır ve literatürde Varignon paralelkenarı olarak bilinir. Bu paralelkenarın birkaç özelliği

$$Alan(PRST)=\frac12Alan(ABCD)$$

$$|RP|=\frac12|BD|,  |RS|=\frac12|AC|$$

şeklinde sıralanabilir. Buna göre $|RP|=3$, $|RS|=4$ olup $RPS$ bir dik üçgendir. $Alan(PRST)=2\cdot Alan(RPS)=2\cdot \dfrac{3\cdot 4}{2} = 12$ dir. Böylece $Alan(ABCD)=2\cdot 12 = 24$ tür.

Hatırlatma: Bu çözümde $ABCD$ nin bir yamuk olduğu bilgisini kullanmadık. Yani, çözümümüz herhangi bir $ABCD$ dörtgeninde geçerlidir.