Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2014 Soru 5

[Eray]

Çevrel çemberi $\omega$ olan bir $ABC$ üçgeninin dış bölgesindeki bir $\omega_A$ çemberi $[BC]$ kenarına $A_1$ noktasında, $\omega$ ya da $A_2$ noktasında teğettir. Benzer biçimde $\omega_B$ ve $\omega_C$ çemberleri için sırasıyla $B_1,B_2$ ve $C_1,C_2$ noktaları tanımlanıyor. $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ doğruları noktadaş ise, $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ doğrularının da noktadaş olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[ERhan ERdoğan]

$AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ doğrularının noktadaşlığı için gerek ve yeter koşul, $\dfrac{A(ABA_{2})}{A(ACA_{2})} \cdot \dfrac{A(BCB_{2})}{A(BAB_{2})} \cdot \dfrac{A(CAC_{2})}{A(CBC_{2})}=1 $ olmasıdır.

$m(\widehat{BAA_{2}})=m(\widehat{BCA_{2}})=\alpha$ ve $m(\widehat{CAA_{2}})=m(\widehat{CBA_{2}})= \beta$ diyelim.
$A_{2}BC$ üçgeninde, $A_{2}A_{1} , \widehat{BA_{2}C}$ açısının açıortayıdır *. Buradan, $\dfrac{|BA_{1}|}{|A_{1}C|}=\dfrac{|BA_{2}|}{|A_{2}C|}$ olur ve ayrıca $ \dfrac{|BA_{2}|}{|A_{2}C|}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ dır.
Bunlara göre, $\dfrac{A(ABA_{2})}{A(ACA_{2})} = \dfrac{|AB|\cdot|AA_{2}|\cdot \sin\alpha}{|AC|\cdot|AA_{2}| \cdot \sin\beta}= \dfrac{|AB|}{|AC|}\cdot \dfrac{|BA_{2}|}{|CA_{2}|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\cdot\dfrac{|BA_{1}|}{|CA_{1}|} \tag{1}$ bulunur. Benzer şekilde,
$\dfrac{A(BCB_{2})}{A(BAB_{2})}=\dfrac{|BC|}{|BA|}\cdot\dfrac{|CB_{1}|}{|AB_{1}|} \tag{2}$ 

$\dfrac{A(CAC_{2})}{A(CBC_{2})}=\dfrac{|CA|}{|CB|}\cdot\dfrac{|AC_{1}|}{|BC_{1}|} \tag{3}$

yazılır.$ABC$ üçgeninin köşelerinden çıkan  $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ doğruları noktadaş olduğundan $$\dfrac{|BA_{1}|}{|CA_{1}|} \cdot \dfrac{|CB_{1}|}{|AB_{1}|} \cdot \dfrac{|AC_{1}|}{|BC_{1}|} = 1$$
eşitliği geçerlidir.Bu eşitliği $(1), (2)$ ve $(3)$ ifadelerinin taraf tarafa çarpımında göz önüne alırsak   
$$\dfrac{A(ABA_{2})}{A(ACA_{2})} \cdot \dfrac{A(BCB_{2})}{A(BAB_{2})} \cdot \dfrac{A(CAC_{2})}{A(CBC_{2})}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\cdot\dfrac{|BA_{1}|}{|CA_{1}|} \cdot \dfrac{|BC|}{|BA|}\cdot\dfrac{|CB_{1}|}{|AB_{1}|} \cdot \dfrac{|CA|}{|CB|}\cdot\dfrac{|AC_{1}|}{|BC_{1}|} = 1 $$ elde edilir.

* ispatı : burada

[T]

$ \angle BA_2A_1=\angle CA_2A_1$ olduğu için $\frac{BA_2}{CA_2}=\frac{BA_1}{CA_1}$ olur.$\frac{sin \angle BAA_2 } {sin\angle CAA_2}=\frac{BA_2 }{CA_2}$ olduğu kolayca görülebilir.Benzer şekilde bu eşitlikleri diğer köşeler için de yazarsak trigonometrik ceva'dan istenen sonuç elde edilir.