Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1

[geo]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ dur. Sırasıyla, $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarının iç noktaları olan $D$, $E$ ve $F$ için, $DE$ doğrusu $CO$ doğrusuna ve $DF$ doğrusu da $BO$ doğrusuna diktir. (İç nokta ile, örneğin, $D$ nin $BC$ doğrusu üstünde ve $B$ ile $C$ arasında yer aldığını kastediyoruz.)
$K$, $AFE$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olsun. $DK$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$BO \cap DF ={G}$  ve  $DE \cap OC = {H}$ olsun. $\angle OBC=\angle OCB=\alpha$  olsun. O zaman $\angle BOC=180-2\alpha$   ve  $\angle BAC=90-\alpha$  olur.  $OHDG$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle GDH=2\alpha$  olur. $K \ \ , \ \triangle AFE$  nin çevrel çemberinin merkezi olduğu için  $\angle FKE=180-2\alpha$  ve  $\triangle FKE$  ikizkenar olduğu için $\angle KFE=\angle KEF=\alpha$  olur.   O zaman $FKED$  de bir kirişler dörtgenidir. O zaman $\angle KFE=\angle KDE=\alpha$  olur.  $\triangle DHC$  dik üçgen olduğu için ve $\angle HCD=\alpha$ olduğu için $\angle HDC=90-\alpha$  olur.  O zaman $\angle KDC= \alpha+(90-\alpha)=90^\circ$   olur. Yani $DK \perp  BC$   dir. İspat biter.