Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1975 Soru 4

[ERhan ERdoğan]

$4444^{4444}$ sayısı onluk sistemde yazılırsa, rakamları toplamı $A$ dır. $A$ nın rakamları toplamı $B$ olsun. $B$ nin rakamları toplamını bulunuz. ($A$ ve $B$, onluk sistemde yazılmıştır.)

[geo]

$4444^{4444}<(10^{4})^{4444} = 10^{17776}$ olduğu için $A < 9 \cdot 17776 < 10 \cdot 17776 = 177760 < 179999$.
$A$ nın rakamları toplamı, $B$, en fazla $45$ olabilir (Örn. $A=99999$).
$B$ nin rakamları toplamı en fazla $12$ olabilir (Örn. $B=39$).
$4444^{4444} \equiv 16^{4444} \equiv 4^{8888} \equiv (4^3)^{2962} \cdot 4^2 \equiv 16 \equiv 7 \pmod 9$ olduğu için $B \equiv 7 \pmod 9$ olmalı. O halde $B = 7$ dir.

[Metin Can Aydemir]

$s(n)$ fonksiyonunu $n$'nin rakamları toplamı olarak tanımlarsak, bizden $n=4444^{4444}$ için $S=s(s(s(n)))$ değeri istenmektedir. Öncelikle $n\equiv s(n)\pmod{9}$ olduğundan $$S\equiv 4444^{4444}\equiv 2^{4444}\equiv \left(2^6\right)^{740}\cdot 2^4\equiv 16\equiv 7\pmod{9}$$ olacaktır. Ayrıca $n$ sayısı $a$ basamaklıysa $10^{a-1}\leq n<10^{a}$ ve $s(n)\leq 9a$ olacaktır. Yani $$s(n)\leq 9a\leq 9\left[\log_{10}(n)+1\right]$$ olacaktır. $n=4444^{4444}$ için $$s(n)\leq 9[4444\cdot \log_{10}(4444)+1]<9\cdot (4444\cdot 4+1)=159993$$ olur. Devam edersek, $$s(s(n))\leq 9\left[\log_{10}(s(n))+1\right]<9\log_{10}(159993)+9<9\cdot 6+9=63$$ olur. $s(s(n))$ en fazla $62$ olabileceğinden $S=s(s(s(n)))\leq 5+9=14$ olacaktır. $1\leq S\leq 14$ ve $S\equiv 7\pmod{9}$ şartlarını sağlayan tek $S$ değeri $7$'dir. Buradan $S=7$ bulunur.