Geomania.Org Forumları

Daha önce sitemizde Ravi dönüşümü ile ilgili olarak sunduğum bazı problemleri derleyerek çözümlü bir çalışma kağıdı hazırladım. Faydalı olması dileğiyle, esenlikler ...

Bu gönderide $\mathbb{Z}\left[\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right]$ veya kısaca $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ için $\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$'nin neden UFD (Unique Factorization Domain) olduğunu göstereceğim. Bunu ispatını foruma ekleme sebebim başka bir iletide kullanacak olmam ve akıllarda soru işareti bırakmamaktır. Öncelikle tanımları yapalım. Elimden geldiğince terimleri türkçeleştirmeye çalışacağım fakat halihazırda kullanılan türkçeleştirmeleri kaçırmış olabilirim.

Grup (Group): $(G,\cdot)$ ikilisi şu şartları sağlıyorsa grup olarak adlandırılır;
i) $G$ bir kümedir,
ii) $\cdot$ bir binary işlemdir, yani $G\times G$'den $G$'ye bir fonksiyondur,
iii) $\forall a,b,c\in G$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ sağlanıyor,
iv) Öyle bir $e\in G$ elemanı vardır ki $\forall a\in G$ için $a\cdot e=e\cdot a=a$ sağlanıyor ve $\forall a\in G$ için öyle bir $b\in G$ vardır ki $a\cdot b=b\cdot a=e$ sağlanıyor.

Bunlara ek olarak eğer her $a,b\in G$ için $a\cdot b=b\cdot a$ sağlanıyorsa, $(G,\cdot)$'ye Abelyen grup (Abelian group) denir (genellikle $\cdot$ işleminin ne olduğu kümeden tahmin edilebildiği için sadece $G$'ye grup deniliyor). Ayrıca $e$'ye özdeş (etkisiz, birim) eleman denir.

Halka (Ring): $(R,+,\cdot)$ üçlüsü şu şartları sağlıyorsa halka olarak adlandırılır;
i) $(R,+)$ bir Abelyen gruptur,
ii) $\cdot$ bir binary işlemdir yani $R\times R$'den $R$'ye giden bir fonksiyondur,
iii) $\forall a,b,c\in R$, $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ sağlanıyor,
iv) $\forall a,b,c\in R$, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
v) $\forall a,b,c\in R$, $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

Bunlara ek olarak eğer her $a\in R$ için $u\cdot a=a\cdot u=a$ olacak şekilde bir $u\in R$ varsa $R$'ye birimli halka denir. Bu $u$ elemanı genellikle $1_R$ ile, $(R,+)$ grubunun etkisiz elemanı ise $0_R$ ile gösterilir.

Eğer her $a,b\in R$ için $a\cdot b=b\cdot a$ ise $R$'ye değişmeli halka (commutative ring) denir (Burada da sadece $R$'ye halka deniliyor).

$a,b\in R$ için eğer $a\cdot b=b\cdot a=1_R$ ise $a$ ve $b$'ye birim eleman denir (buradaki birim eleman ile yukarıdaki birim elemanı karıştırmayın. Gruptaki birim eleman "identity" olarak adlandırılırken buradaki "unit" olarak adlandırılıyor.).

$R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun ve $c\in R-\{0_R\}$ çarpmaya göre birim eleman olmasın. Eğer $c=a\cdot b$ olmasını sağlayan her $a,b\in R$ için $a$ veya $b$ çarpmaya göre birim eleman oluyorsa, $c$'ye indirgenemez eleman denir.

Althalka (Subring): $R$ bir halka olsun. Eğer $S$ bir halka ve $R$'nin altkümesiyse $S$'ye althalka denir.

İdeal: $R$ bir halka olsun. Eğer $I$ bir althalkaysa ve her $x\in I$ ve $r\in R$ için $r\cdot x\in I$ ve $x\cdot r\in I$ ve her $x,y\in I$ için $x-y\in I$ ise $I$'ya ideal denir (Burada $x-y$'den kasıt $x$ ve $y$'nin toplamaya göre tersinin toplamıdır).

Esas İdeal (Principal İdeal): Eğer $I$, $R$'nin bir ideali ise ve her $x\in I$ için $x=a\cdot r$ veya $x=r\cdot a$ olacak şekilde bir $a\in R$ olmasını sağlayan sabit bir $r\in I$ varsa $I$'ya esas ideal denir ve $I=(r)$ ile gösterilir.

Sıfır Bölen (Zero divisor): $R$ bir halka olsun. $a,b\in R-\{0_R\}$ elemanları için eğer $a\cdot b=0_R$ ise $a$ ve $b$'ye sıfır bölen denir.

Tamlık Bölgesi (Integral Domain): $R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun. Eğer $1_R\neq 0_R$ ise ve $R$'nin sıfır bölen elemanı yoksa $R$'ye tamlık bölgesi denir.

Esas İdeal Bölgesi (Principal Ideal Domain - PID): $R$ bir tamlık bölgesi olsun. Eğer $R$'nin her ideali aynı zamanda esas ideal ise $R$'ye esas ideal bölgesi denir.

Öklid Bölgesi (Euclidean Domain): $R$ bir tamlık bölgesi olsun.

i) $\forall a,b\in R$, $ab\neq 0$ ise $f(a)\leq f(ab)$'dir,
ii) Her $a\in R$ ve $b\in R-\{0_R\}$ için $a=bq+r$ ve ($r=0_R$ veya $0\leq f(r)\leq f(b)$) olacak şekilde $q,r\in R$ vardır.

Eğer bu şartları sağlanacak şekilde $f:R-\{0_R\}\to \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ fonksiyonu varsa $R$'ye Öklid bölgesi denir.

Tek Türlü Çarpanlarına Ayrılabilir Bölge (Unique Factorization Domain - UFD): $R$ bir tamlık bölgesi olsun. Eğer şu şartlar sağlanıyorsa;
i) $\forall a\in R-\{0_R\}$ için eğer $a$ çarpmaya göre birim değilse $a$ sayısı bazı indirgenemez sayıların çarpımı olarak yazılabilir.
ii) Eğer $c_1,c_2,\dots,c_n$ ve $d_1,d_2,\dots, d_m$ sayıların $R$'de indirgenemez ve $$c_1\cdot c_2\cdot c_3\cdots c_n=d_1\cdot d_2\cdots d_m$$ ise $m=n$'dir ve $d_1,d_2,\dots, d_m$ sayıları $c_1,c_2,\dots,c_n$ sayılarının herhangi bir sırada dizilmiş halinin bazı birim elemanlarla çarpılmış halidir. Örneğin $6$ sayı $2\cdot 3$ olarak da $(-3)\cdot (-2)$ olarak da yazılabilir çünkü $-1$ sayısı $\mathbb{Z}$'de çarpmaya göre birimdir.

Bu durumda $R$'ye UFD denir.

Teorem 1: Her PID aynı zamanda UFD'dir.
Teorem 2: Her Öklid bölgesi aynı zamanda PID'dir.
Teorem 3: $\mathbb{Z}[\omega]$ bir Öklid bölgesidir.

Dolayısıyla bu üç teorem ispatlanırsa $\mathbb{Z}[\omega]$'nin UFD olduğunu ispatlamış oluruz. Teorem 1'in ispatı için üç tanım daha yapmalıyız.

Bölünebilirlik: $R$ bir halka olsun. $a,b\in R$ için $a$ böler $b$ demek $a\cdot x=b$ olacak şekilde bir $x\in R$ olması demektir ve $a\mid b$ olarak gösterilir.

Asal eleman: $R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun. $c\in R-\{0_R\}$ ve birim olmayan bir eleman olsun. Eğer $c\mid a\cdot b$ olan her $a,b\in R$ için $c\mid a$ veya $c\mid b$ ise $c$'ye asal eleman denir.

Maksimal İdeal: $R$ bir halka ve $M\neq R$ ise onun bir ideali olsun. Eğer $M$'yi kapsayan idealler sadece $M$ ve $R$'nin kendisi ise $M$'ye maksimal ideal denir.

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|BD|=|DE|=|EC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

$
\begin{array}{rcll}
\text{I.} & & s(\widehat{ADB})=s(\widehat{AEC}) \\
\text{II.} & & s(\widehat{BAC})=3 \cdot s(\widehat{DAE}) \\
\text{III.} & & |AD|=|CD| \\
\text{IV.} & & |AB|=|DE|
\end{array}$

ifadelerinden hangileri doğru olabilir?

$\text{a)}\ \text{I ve IV} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \text{I ve III}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \text{II ve IV}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \text{I ve II}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \text{I, III ve IV} $

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $|CD|=6$, $|AC|=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ve $|BC|=2\sqrt{3}+2$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAC})=m (\widehat{DCB})$ ise, $|AB|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{6}-1
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

YouTube üzerinden Sayılar Teorisi Dersleri içeriğinden hazırladığım video ders serisi takip edilebilir.

1. Asal Sayılar ve Tam Sayılar
2. Bölünebilme
3. Taban Aritmetiği
4. OBEB-OKEK, Euclid Algoritması ve Euler Phi Fonksiyonu

...

şeklinde konu başlıkları devam etmektedir. İyi çalışmalar. (Lokman GÖKÇE)

Bu konu başlığı altında "kardinalite 1-2-3" adı altında paylaştığım soru ve çözümleri toplayayıp hem bir konu anlatımı oluşturmak hem de farklı soruları aynı başlık adı altında paylaşmak istedim.

Kardinalitenin ne olduğundan bahsedelim. Bir $A$ kümesinin kardinalitesini onun eleman sayısı olarak düşünebiliriz yani $A=\{1,2,3,4\}$ için $Card(A)=4$ olacaktır (Bir kümenin kardinalitesinin farklı gösterimleri de vardır $\mid A \mid$, $n(A)$, $\# A$ gibi). Kümelerin kardinalitelerini karşılaştırmak bize o iki küme arasındaki tanımlanabilecek birebir, örten veya birebir örten fonksiyon olup olmadığı hakkında fikir verir. Örneğin, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$, $C=\{2,3,5\}$, $D=\{2,4,6,8\}$ gibi kümeler tanımlayıp bunların kardinalitelerini karşılaştıralım, $Card(A)=3$, $Card(B)=2$, $Card(C)=3$ ve $Card(D)=4$ olup $$Card(D)>Card(A)=Card(C)>Card(B)$$ olur.

$f:A\rightarrow B$ için Güvercin Yuvası İlkesine göre öyle $a,b\in A$ vardır ki $a\neq b$ ve $f(a)=f(b)$ olur. Yani $f$, birebir olamaz ama $f_1: B\rightarrow A$ için birebir bir fonksiyon bulabiliriz. Örneğin, $f_1=\{(3,1),(4,2)\}$ birebir bir fonksiyondur. Benzer şekilde $g: D\rightarrow A$ için birebir fonksiyon yokken $g_1: A\rightarrow D$ için $g_1=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$ fonksiyonu birebirdir. Buradan şunu gözlemleyebiliriz, $Card(Y)\geq Card(X)$ ise $X$'den $Y$'ye birebir bir fonksiyon tanımlayabiliyoruz (Bunun ispatını eklemeyeceğim fakat göstermek isteyenler için örnekte de kullandığımız gibi Güvercin Yuvası İlkesini kullanabilirsiniz).

Bu kümelerle örten bir fonksiyon tanımlayabilip tanımlayamayacağımıza bakalım. Eğer $h:X\rightarrow Y$ gibi bir fonksiyonumuz örten ise $Y$'nin her elemanının aynı zamanda görüntü kümesinde olması gerekir. Yani her $y\in Y$ için öyle bir $x\in X$ vardır ki $h(x)=y$ sağlanır. Dolayısıyla $X$ kümesinde daha fazla veya eşit sayıda elemanı olması gerekir (Sonsuz elemanlı kümelerde daha fazla elemanı olmasının ne anlama geldiğinden bahsedeceğiz). Dolayısıyla $Card(X)\geq Card(Y)$ olmalıdır (Bu ispattan $Card(X)\geq Card(Y)$ ise örten fonksiyon tanımlanabilir ifadesi çıkartılamaz ama aşağıda göstereceğimiz yolla bu da gösterilebilir).

$A$ ve $C$ kümelerinin kardinaliteleri eşittir ($Card(A)=Card(C)$). Yani yukarıda bahsettiğimiz gibi hem birebir hem de örten fonksiyon tanımlayabilmeliyiz. Gerçekten de $f: A\rightarrow C$ için $f=\{(1,2),(2,3),(3,5)\}$ olarak tanımlarsak $f$, birebir ve örten olmuş olur.

Sonlu sayıda eleman içeren kümeler için karşılaştırma yapabiliyoruz fakat kümeleri $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{N}$ gibi sonsuz elemanlı seçersek büyüklük karşılaştırması yapamayız. Bu durumda kardinaliteler arasındaki büyüklük, küçüklük veya eşitlik gibi ilişkileri daha farklı tanımlamalıyız. O yüzden aşağıdaki tanımları kullanabiliriz,

$1)$ Eğer $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon varsa $Card(A)=Card(B)$ olarak gösterilir. Eğer böyle bir fonksiyon yoksa $Card(A)\neq Card(B)$ olarak gösterilir. Burada şunları gözlemleyebiliriz,

$1a)$ Her $A$ kümesi için $Card(A)=Card(A)$'dır çünkü $f(x)=x$ birim fonksiyonu birebir ve örten olacaktır.

$1b)$ Her $A$ ve $B$ kümesi için $Card(A)=Card(B)$ ise $Card(B)=Card(A)$'dır çünkü $f$, $A$'dan $B$'ye tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon ise $f^{-1}$ fonksiyonu da $B$'den $A$'ya tanımlı birebir ve örten bir fonksiondur.

$1c)$ Her $A$, $B$ ve $C$ kümeleri için $Card(A)=Card(B)$ ve $Card(B)=Card(C)$ ise $Card(A)=Card(C)$'dir. Bunu yukarıdaki sorudaki iddiada kullandığımız gibi bileşke fonksiyon kullanarak gösterebiliriz.

$2)$ Eğer $A$'dan $B$'ye tanımlı birebir bir fonksiyon varsa $Card(A)\leq Card(B)$'dir. Burada da şunu gözlemleyebiliriz,

$2a)$ Her $A$ ve $B$ için $Card(A)\leq Card(B)$ ise $B$'den $A$'ya örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz çünkü $g$, $A$'dan $B$'ye birebir bir fonksiyon ise $R(g)$ görüntü kümesi, $a\in A$ ve $b\in B$ olmak üzere, $b\in R(g)$ ise $g_1(b)=g^{-1}(b)$ olarak ($g^{-1}(b)$'den kasıt $b$ değerine giden $A$ kümesi elemanıdır) ve $b\notin R(g)$ ise $g_1(b)=a$ olarak tanımlarsa $g_1$ fonksiyonu $B$'den $A$'ya tanımlı örten bir fonksiyon olur.

$2b)$ $A$, $B$ ve $C$ kümeleri için $Card(A)\leq Card(B)$ ve $Card(B)\leq Card(C)$ ise $Card(A)\leq Card(C)$ olur. Bunun ispatı ise $A$'dan $B$'ye birebir $f$ ve $B$'den $C$'ye birebir $g$ fonksiyonu için $g\circ f$, $A$'dan $C$'ye birebir fonsiyon olur.

$3)$ Eğer $Card(A)\leq Card(B)$ fakat $Card(A)\neq Card(B)$ ise $Card(A)<Card(B)$ olarak gösterilir.

Bu gösterimlerin sonlu sayıda elemana sahip kümeler için zaten doğru olduğu görülebilir ve bu yeni tanımlarla artık sonsuz elemanlı kümeleri de karşılaştırabiliriz.

Kardinalite konusunda en çok bilinenlerden biri $Card(\mathbb{R})\neq Card(\mathbb{N})$ olduğudur, bunun ispatını ekleyeceğim.

Not 1: $A$ ve $B$, $A\subseteq B$ şartını sağlayan kümeler olsun. $f: A\rightarrow B$ için $f(x)=x$ fonksiyonu birebir olacağından $Card(A)\leq Card(B)$ olacaktır Dolayısıyla $Card(\mathbb{N})\leq Card(\mathbb{R})$ olacaktır ayrıca $Card(\mathbb{R})\neq Card(\mathbb{N})$ olduğundan $Card(\mathbb{N})<Card(\mathbb{R})$ olacaktır.

Buradaki sorunun çözümümün altında daha önce iki tamkarenin toplamı üzerine araştırma yaptığımı belirtmiştim. Bu başlık altına da çalışmamın raporunu ekledim, umarım ilgilenenler için faydalı olur.

TÜBİTAK'tan, yıllardır beklenen hamle geldi. Bilim olimpiyatları ortaokul ve lise birinci aşama sınavlarının çözümleri (şimdilik 2008-2018) yayınlandı. Gerçekten önemli bir adımdır. Bu yarışmalar aynı zamanda gelecek nesillere kültürel ve bilimsel birer mirastır. Dolayısıyla bu sınavların çözümlerinin derli toplu biçimde korunabilmesi gerekmekteydi.

Bizler de geomania ailesi olarak bu mirasın korunması için yıllardır gücümüz yettiğince/zamanımız el verdiğince gayret gösterdik. Birinci aşama, ikinci aşama, takım seçme sınavları sorularından ulaşabildiklerimizi foruma girdik. Çözebildiklerimizi, çözümüne ulaşabildiklerimizi halka açık olarak paylaştık.

Çözümlerin yayınlanması kararının alınmasında katkısı olanları içtenlikle kutlar, ülke matematiğine hayırlı olması dileklerimle beraber daha eski yılların birinci aşama, ikinci aşama/takım seçme vb sınavlar için de benzer çalışmaların sunulmasını dilerim.


Lise Çözümleri: https://www.tubitak.gov.tr/tr/olimpiyatlar/ulusal-bilim-olimpiyatlari/icerik-matematik-0

Ortaokul Çözümleri: https://www.tubitak.gov.tr/tr/olimpiyatlar/io-matematik-olimpiyatlari/icerik-ortaokul-matematik