Tübitak Genç Takım Seçme 2018 Soru 3

[ygzgndgn]

$H$ noktası dar açılı $ABC$ üçgeninin diklik merkezi olsun. $ABC$'nin çevrel çemberi ve $[AH]$ çaplı çember $A$'dan farklı $E$ noktasında kesişsin. $M$ noktası $ABC$'nin çevrel çemberinin küçük $BC$ yayının orta noktası ve $N$ noktası $BHC$'nin çevrel çemberinin büyük $BC$ yayının orta noktası olsun. $E, H, M, N$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

Çözüm. $EH\cap MN=\{O\}$ olsun. $OH\cdot OE=OM\cdot ON$ gösterseydik soru kuvvetten biterdi. $(BHC)$'nin $(ABC)$'nin $BC$'ye göre yansıması olduğu bilindiktir. Dahası, $EH\cap BC$'nin $BC$'nin orta noktası olduğu da bilindiktir. Tüm bunlar $O$'nun $BC$'nin orta noktası olduğunu göstermeye yeterlidir. $CH\cap AB=\{X\}$ olsun. $OX$'in $(AH)$'a teğet olduğu bilindiktir.  $BCX$ üçgeninden $OB=OX=OC$ buluruz. $N'$ noktası $N$'nin $BC$'ye göre yansıması olsun. $N'$ noktası $(ABC)$'de büyük $BC$ yayının orta noktasıdır. Kuvvetten
$$OM\cdot ON=OM\cdot ON'=pow(O, (ABC))=OB\cdot OC=\frac{BC^2}{4}=OX^2=pow(O,(AH))=OH\cdot OE$$
olup ispat biter. $\blacksquare$