Denklem Çözme

[alpercay]

$-1+\dfrac{2}{1-x}=\sqrt 3$  ise $\dfrac{2x}{1-x^2}\cdot \sqrt 3=?$

[Seyit Çetin]

denklem çözüm

[alpercay]

$\dfrac{1+x}{1-x}=\sqrt 3$  eşitliğinde  $x=\tan\alpha$  dersek $\dfrac{1+ \tan\alpha}{1-1\cdot \tan\alpha}=\dfrac{\tan 45+\tan\alpha}{1-\tan 45\cdot \tan\alpha}=\tan(45+\alpha)=\tan60$



$\alpha+45=60+k.180$  ise  $\alpha=15+k.180$



$\dfrac{2x}{1-x^2}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan2\alpha=\tan(30+2k.180)=\dfrac1{\sqrt3}$



$\dfrac{2x}{1-x^2}.\sqrt3=1$

[alpercay]

$\dfrac{2}{1-x}=\sqrt3+1$  ise  $\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{\sqrt3+1}2$  

Basit kesirlere ayırma ile $\dfrac{2x}{1-x^2}=\dfrac 1{1-x}-\dfrac {1}{1+x}=\dfrac 1{1-x}\cdot (1-\dfrac 1{\sqrt 3})=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\sqrt3+1}2=\dfrac 1{\sqrt 3}$

$\dfrac{2x}{1-x^2}\cdot\sqrt 3=1$

[alpercay]

(Çözüm: Sercan Yılmaz)

Düzenlersek $$\dfrac{1+x}{1-x}=\sqrt3$$ ile $(1+x,1-x)=(\sqrt3k,k)$ olur ve toplamı ile $k=\sqrt3-1$ olduğunu elde ederiz.

Verilen ifade ise, $2x=(1+x)-(1-x)$ ve $1-x^2=(1+x)(1-x)$ olduğundan, $$\dfrac{(\sqrt3-1)k}{\sqrt3k\cdot k}\cdot \sqrt 3=1$$ olur.

[alpercay]

$\dfrac{1+x}{1-x}=\sqrt 3$  eşitliğinden $x=2-\sqrt3$

$\dfrac{2\sqrt3x}{1-x^2}=A$ olsun.  Oluşan denklemin kökü $$x=\dfrac{-\sqrt3\pm \sqrt{3+A^2}}{A}=2-\sqrt3$$ 
olduğundan $A=1$  bulunur.