2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$2x= \left( \dfrac{x^3+1}{2} \right)^3+1$  denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Eşitliği düzenlersek, $\sqrt[3]{2x-1}=\frac{x^3+1}{2}$ olacaktır. Eğer $f(x)=\frac{x^3+1}{2}$ dersek, $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye birebir örtendir. Dolayısıyla $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ yazabiliriz. $f^{-1}$ fonksiyonu $f$'nin $x=y$ doğrusuna göre yansıtılmış halidir. Dolayısıyla $f(x)=f^{-1}(x)$ olan her $x$ için $f(x)=f^{-1}(x)=x$'dir. Sonuç olarak sadece $f(x)=x$ eşitliğini çözmemiz yeterlidir. $$\frac{x^3+1}{2}=x\implies x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$$ olur. Yani çözümler $x=1$, $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$'dir ve $3$ tane çözüm vardır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$.

$x=\dfrac{\left(\dfrac{x^3+1}{2}\right)^3+1}{2}$  eşitliğinde $t=\dfrac{x^3+1}{2}$  için $x=\dfrac{t^3+1}{2}$  olur. Bu iki eşitliği birbirinden çıkartırsak $x-t=\dfrac{(t-x)(t^2+tx+x^2)}{2}$  bulunur. Ya $x=t$  dir ya da $t^2+tx+x^2=-2$  eşitliği sağlanmalıdır. Eğer $x=t$  ise $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$  denkleminden $3$  farklı reel kök gelir. $t^2+tx+x^2=-2$  eşitliğinden ise $\triangle_t=x^2-4(x^2+2)=-(3x^2+8)<0$  olduğundan çözüm gelmez. Toplamda $3$  farklı reel çözüm elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Benzer bir soru için bkz: 2000 Antalya Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 13.