Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

$3(m^{3}n+n^2+1) = m(n^3+9m+n)$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{C}$

Denklemi düzenlersek   $mn\cdot(3m^2-n^2-1)=9m^2-3n^2-3$    olur.  Buradan iki durum çıkıyor. Ya  $mn=3$  ya da  $3m^2-n^2-1=0$   olmalı.  $mn=3$  için $4$  tamsayı çözümü var.  $3m^2-n^2=1$   ifadesine $\pmod 3$  te bakarsak  $n^2\equiv 2 \pmod 3$   olur. Çelişki.  Yani cevap $4$.