Yanıt:$n$ herhangi bir tam sayı olmak üzere $f(x)=0$ veya $f(x)=2x+n$
$a=0$ ve $b=n+1$ alalım.
$$f(0)+2f(n+1)=f(f(n+1))$$
$a=1$ ve $b=n$ alalım.
$$f(2)+2f(n)=f(f(n+1))$$ Bu iki eşitlik birbirine eşitlenirse
$$ f(n+1)-f(n)=\dfrac{1}{2}.(f(2)-f(0))$$ elde edilir.
$f(n+1)-f(n)$ bir sabit olması ancak ve ancak $f(n)$ in doğrusal olması ile mümkündür.
$f(n)=xn+y$ olsun. Yerine yazalım.
$$x.2a+y+2.(xb+y)=f(x.(a+b)+y)=x.(x.(a+b)+y)+y$$
$$2ax+2bx+3y=x^2.(a+b)+xy+y$$
$$2.(x.(a+b)+y)=x.(x.(a+b)+y)$$
$$(x-2).(x.(a+b)+y)=0$$
Buradan $x=2$ veya $x.(a+b)+y=0$ elde edilir.
a) $x=2$ ise $f(n)=2n+y$ , $y\in Z$ olduğu görülebilir.
b) $a+b=-\dfrac{y}{x}$ yani $a+b$ sabit olması gerekir ancak her $a,b$ sayısı için çözüm aradğımızdan mümkün değildir. Fakat $x=0$ durumu tanımsızdır. Bunu $f(n)=y$ koyarak incelemeliyiz.
$$f(a)+2f(b)=f(f(a+b))$$
$$y+2y=f(y)=y$$
$$2y=0$$
$$y=0$$ yani $f(n)=0$ çözümü de görülür.
