Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 32

[Dogukan6336]

$ 3^{2^{2017}} - 1$  sayısının $2^{2020}$ sayısına bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^{2017} \qquad\textbf{b)}\ 2^{2019}  \qquad \textbf{c)}\ 2^{2017}+1  \qquad \textbf{d)}\ 2^{2018}+1  \qquad\textbf{e)}\ 2^{2018}+2$

[Dogukan6336]

Yanıt : $\boxed B$

$3^{2^{k}}-1 = (3^{2^{k-1}}+1)(3^{2^{k-2}}+1)(3^{2^{k-3}}+1)\cdots (3^2+1)(3+1)(3-1)$ şeklindedir.

$$3^{2^{k}}+1 \equiv 0 \pmod 2$$

$$3^{2^{k}}+1 \equiv 2 \pmod 4 \quad (k\neq 0)$$

olacaktır. $k = 0$ için $3+1 = 4$ olup $4$ e tam bölünecektir. O halde $3^{2^{k}}-1$ ifadesindeki $2$ çarpanlarının sayısı $(k-1).1 + 1 + 2 = k+2$ tanedir. Bu bilgi yardımıyla $k$ bir tam sayı olmak üzere, bölme algoritması yardımıyla $\dfrac {3^{2^{2017}}-1} {2^{2019}} = 2k+1$ şeklinde yazabiliriz. $3^{2^{2017}}-1 = 2^{2020}k + 2^{2019}$  bulunur.