$a)$ Evet, böyle bir aritmetik dizi vardır. Bunun için öncelikle $3$ terimli bir dizi oluşturalım, $2$ terim için $(8,9)$ örnektir. $(1,2,3)$ dizisiyle başlayıp, her terimi $k$ ile çarparsak yine bir aritmetik dizi elde ederiz. Dolayısıyla $k, 2k$ ve $3k$'nın üçünün birden doğal sayıların bir kuvveti olmasını sağlamalıyız. $k=2^a\cdot 3^b$ dersek, $(a,b)$, $(a+1,b)$ ve $(a,b+1)$'nin üçünün birden $1$'den büyük olması gerekir. $a=20$, $b=24$ seçersek, $$k=2^{20}\cdot 3^{24}=\left(2^{5}\cdot 3^6\right)^{4}$$ $$2k=2^{21}\cdot 3^{24}=\left(2^{7}\cdot 3^8\right)^{3}$$ $$3k=2^{20}\cdot 3^{25}=\left(2^{4}\cdot 3^5\right)^{5}$$ olacağından $3$ elemanlı bir dizi bulmuş oluruz. Şimdi tümevarımla bu şartı sağlayan $n$ elemanlı bir dizi varsa $n+1$ elemanlı da olduğunu gösterelim.
$(a_1,a_2,\dots, a_n)$ bu şartı sağlasın. $i=1,2,\dots,n$ için öyle $t_i,b_i>1$ tamsayıları vardır ki $a_i=t_i^{b_i}$'dir. $B=b_1b_2\cdots b_n$ için tüm terimleri $k^B$ gibi bir sayı ile çarparsak dizinin özelliği bozulmaz. Çarpmadan önceki aritmetik dizinin sonraki terimi $a_{n+1}$ ise $a_{n+1}k^B$'yi bir doğal sayının $1$'den büyük kuvveti haline getirmeliyiz. $a_{n+1}=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılsın ($p_i$'ler farklı). $k$'yı da $p_i$ asallarından oluşacak şekilde seçmeliyiz. Örneğin, $k=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_m^{\beta_m}$ seçersek, $$(\alpha_1+B\beta_1,\alpha_2+B\beta_2,\cdots,\alpha_m+B\beta_m)>1$$ olursa $a_{n+1}k^B$ de bir doğal sayının $1$'den büyük kuvveti olur. $\alpha_i$'ler ve $B$ ile aralarında asal bir $q$ asalı seçelim ve $$\alpha_i+B\beta_i\equiv 0\pmod{q}\iff \beta_i\equiv -\alpha_iB^{-1}\pmod{q}$$ olarak $\beta_i$'leri seçelim. Bu durumda $a_{n+1}k^B$ sayısı da bir doğal sayının $q.$ kuvveti olur ve böylelikle, istenilen şartları sağlayan $n+1$ terimli bir aritmetik dizi elde etmiş oluruz. Tümevarımdan herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı için $n$ elemanlı ve her elemanı bir doğal sayının $1$'den büyük kuvveti olan bir aritmetik dizi vardır.
$b)$ Hayır, yoktur. Aksini varsayalım ve $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ aritmetik dizisinin her elemanı bir doğal sayının $1$'den büyük bir kuvveti olsun. Dizinin ortak farkına $d$ dersek, dizinin her terimi $a_1+nd$ formatındadır. Eğer $(a_1,d)=c$ ise $a_1=cu$ ve $d=cv$ olacak şekilde aralarında asal $u,v$ pozitif tamsayıları vardır. Bu durumda dizinin her elemanı $c(u+nv)$ formatındadır. $(u,v)=1$ olduğundan $(u+nv)$ formatında sonsuz asal sayı vardır. Bu Dirichlet'in aritmetik dizilerdeki asallar teoremi olarak da bilinir. $c$ sayısı bu asalların hepsini içeremeyeceğinden dolayı en az bir $u+nv$ formatındaki $p$ asal sayısı için $(c,p)=1$ olacaktır. $p$'yi elde etmemizi sağlayan $n$ değeri için $$a_{n+1}=a_1+nd=c(u+nv)=cp$$ sayısı $p$'ye bölünüp, $p^2$'ye bölünmediğinden hiçbir doğal sayının birden büyük bir kuvveti olamaz. Bu bir çelişkidir, böyle bir dizi yoktur.
