Gönderen Konu: Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri  (Okunma sayısı 4962 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri
« : Şubat 12, 2023, 01:12:45 ös »
Soru [Lokman GÖKÇE]: Sierpinski üçgeni şu şekilde oluşturulur.

1. Adım: Bir eşkenar üçgen çiziniz.

2. Adım: Bu eşkenar üçgenin orta noktalarını kullanarak orta kısımda oluşan eşkenar üçgeni maviye boyayınız.

3. Adım: Boyalı olmayan üçgenlere 2. adımdaki işlemi tekrar ve tekrar uygulayınız.



Başlangıç üçgeninin alanı $S$ olsun. Boyama işlemleri $n$ defa uygulandığında, mavi boyalı kısmın toplam alanı $T_n$ olsun. $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \frac{T_n}{S}} $ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$  \textbf{a)}\ \dfrac{3}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{15}{16} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{63}{64} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{255}{256} \qquad\textbf{e)}\ 1 $


Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri
« Yanıtla #1 : Şubat 13, 2023, 04:30:15 ös »
Cevap: $\boxed{E}$

Her adımda bir önceki şeklin boş alanlarının $\frac{1}{4}$'ü boyanıyor. Yani ilk adımda $T_1=\frac{S}{4}$ boyalı kısım, ikincide $T_2=T_1+\frac{S-T_1}{4}=\frac{S+3T_1}{4}=\frac{7S}{16}$ ve genel haliyle $n.$ adımda $T_n=T_{n-1}+\frac{S-T_{n-1}}{4}=\frac{S}{4}+\frac{3T_{n-1}}{4}$ boyalı kısım vardır. Genel formülü bulmak için öncelikle $\frac{S}{4}$ terimini yok etmeye çalışalım. Bunun için de $a_n=T_n+A$ diyelim. $$4T_n=S+3T_{n-1}\implies 4a_n+4A=S+3a_{n-1}+3A$$ Dolayısıyla $A=S$ seçersek, $4a_n=3a_{n-1}$ bulunur. $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı $\frac{3}{4}$'dür. Genel formülü ise $a_n=a_1\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ elde edilir.

$T_1=a_1+S$ olduğundan $a_1=-\frac{3S}{4}$ ve $a_n=-\frac{3^n}{4^n}S$ elde edilir. Dolayısıyla $T_n=S\left(1-\frac{3^n}{4^n}\right)$ elde edilir. Aradığımız limit, $$\lim_{n\to \infty} \frac{T_n}{S}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{3^n}{4^n}\right)=1-0=1$$ bulunur.

Görsel üzerinden bakarsak da giderek her yerin boyandığı tahmin edilebilir. Başka bir yöntem olarak da üçgen içerisindeki herhangi bir noktanın boyanıp boyanmayacağını incelenebilir.
« Son Düzenleme: Şubat 20, 2023, 01:08:28 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Sierpinski Üçgeni - Fraktal - Geometrik Seri
« Yanıtla #2 : Şubat 13, 2023, 05:46:25 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

Çözüm 2:

Her adımda oluşan mavi üçgenlerin sayısı sırasıyla $1, 3, 3^2, \dots$ şeklinde geometrik olarak artmaktadır. Ayrıca ardışık adımlarda oluşan üçgenlerin benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan alanlar oranı da $\dfrac{1}{4}$ olur. İlk boyalı alan $A_1 = \dfrac{S}{4}$ tür. İkinci boyalı alanda $3$ tane yeni üçgen oluştuğu için $A_2 = 3\cdot \dfrac{A_1}{4} = 3\cdot \dfrac{S}{16} $ olur. Genel olarak $A_{n+1} = 3\cdot \dfrac{A_n}{4}$ tür. Bu ise $(A_n)$ nin, $\dfrac{3}{4}$ ortak çarpanına sahip bir geometrik dizi olduğunu gösterir.

$$ T_n = A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n = \dfrac{S}{4} + \dfrac{3S}{16}  + \dfrac{9S}{64} + \cdots  + \dfrac{3^{n-1}S}{4^n} $$

olup sonsuz geometrik toplam formülünden

$$ \lim_{n\to \infty} \left(T_n \right) = \dfrac{S}{4}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}} = S $$

elde edilir. Böylece, $ \displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \dfrac{T_n }{S} = \dfrac{S}{S} = 1}$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal