Gönderen Konu: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20  (Okunma sayısı 1334 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20
« : Ekim 13, 2022, 09:42:19 ös »
Farklı olmaları gerekmeyen $100$ reel sayıdan oluşan bir kümede$,$ her sayı$,$ geriye kalan $99$ sayının toplamının $1/7$'sinden büyük olsun. Bu kümedeki negatif sayıların sayısı en az kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 10$

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.215
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20
« Yanıtla #1 : Temmuz 08, 2024, 05:55:39 öö »
Cevap: $\boxed{D}$

Bu $100$ sayının toplamı $S$ olsun. Bu sayılar arasındaki herhangi bir $x$ için $$x>\frac{S-x}{7}\implies x>\frac{S}{8}$$ olacaktır. Herhangi $8$ tane elemanı aldığımızda $x_1+x_2+\cdots+x_8>S=x_1+x_2+\cdots+x_{100}$ olacağından geri kalan $92$ eleman içinde her zaman bir negatif sayı olmalıdır. Eğer $8$ veya daha az negatif sayı varsa, bunları içeren $8$ sayı seçtiğimizde kalan $92$ eleman içinde negatif sayı olmayacak, bu da bir çelişki çıkartacaktır. Yani en az $9$ tane negatif sayı vardır. Buna örnek bulmaya çalışalım. $9$ tane $-100$ ve $91$ tane $0$ seçersek, $S=-900$ olacak ve her eleman için $$x>\frac{-900}{8}=-112.5$$ doğru olacaktır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal