Gönderen Konu: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10  (Okunma sayısı 1283 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10
« : Ekim 12, 2022, 07:23:56 ös »
$a$ ve $b$ pozitif sayılar olmak üzere$,$

$a_1=\dfrac{1}{a}\ ,\ a_2=a_1+1\ ,\ a_3=a_1a_2+1\ , \ ... ,\ a_{100}=a_1a_2...a_{99}+1$   ve   $a_1a_2...a_{99}a_{100} = \dfrac{1}{b}$  ise

                     $A=\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}}$

toplamının $a$ ve $b$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ a+b  \qquad\textbf{b)}\ 2a+b  \qquad\textbf{c)}\ 2a-b  \qquad\textbf{d)}\ a-b  \qquad\textbf{e)}\ a-2b$

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 109
  • Karma: +0/-0
Ynt: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10
« Yanıtla #1 : Temmuz 10, 2024, 11:11:36 öö »
Yanıt : $\boxed {C}$

Soruya göre $a_x=a_{x-1}a_{x-2}\cdots a_1+1$ yazılabilir. Her tarafı $a_xa_{x-1}\cdots a_1$'e bölerek $\frac{1}{a_{x-1}a_{x-2}\cdots a_1}-\frac{1}{a_{x}a_{x-1}\cdots a_1}=\frac{1}{a_x}$ yazılabilir. $x=2$'den $100$'e kadar teleskopik toplam sonucunda $\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{100}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1a_2\cdots a_{100}}=a-b$ bulunur. Her tarafa $\frac{1}{a_1}=a$ eklenirse yanıt $2a-b$ bulunur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal