Gönderen Konu: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09  (Okunma sayısı 1256 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09
« : Ekim 12, 2022, 07:11:34 ös »
$S= \dfrac{10}{10^4+10^2+1} + \dfrac{11}{11^4+11^2+1} + \dfrac{12}{12^4+12^2+1} + \cdots + \dfrac{100}{100^4+100^2+1}$

ise $2S+\dfrac{1}{10101}$ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{259}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{39}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{111}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{91}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{101}$

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 109
  • Karma: +0/-0
Ynt: 2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09
« Yanıtla #1 : Temmuz 09, 2024, 01:01:53 öö »
Yanıt : $\boxed {D}$

$x$ için ifadelerimizi $$\frac{x}{x^4+x^2+1}=\frac{x}{(x^2+1)^2-x^2}=\frac{x}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\frac{\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1}}{2}$$ olarak yazalım. $x+1$'in $a^2-a+1$ içingörüntüsü $x$'in $a^2+a+1$ için görüntüsüne eşittir. Bu yüzden $\frac{1}{10^2-10+1}-\frac{1}{100^2+100+1}$ dışındaki terimler sadeleşir ve $S=\frac{\frac{1}{10^2-10+1}-\frac{1}{100^2+100+1}}{2}$ olur ve $2S=\frac{1}{91}-\frac{1}{10101}$ elde edilir. Cevap $\frac{1}{91}$ bulunur.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal