Gönderen Konu: Lise 2. Aşama 2020 Soru 1  (Okunma sayısı 2082 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Lise 2. Aşama 2020 Soru 1
« : Mayıs 07, 2021, 12:17:45 öö »
$n>1$ bir tam sayı olmak üzere, $\left\{1,2, \ldots, n^{2}\right\}$ kümesinin $k$ elemanlı her alt kümesinde $x^{2} \mid y$ olacak şekilde $x$ ve $y$ elemanları bulunuyorsa, $k$ nin alabilecegi en küçük değeri bulunuz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Burak.Müf

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
Ynt: Lise 2. Aşama 2020 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ocak 29, 2024, 02:57:19 öö »
Sorudaki şartı $ n $'in küçük değerleri için denenince $\left\{n+1,n+2, \ldots, n^{2}\right\}$ altkümesinde bu şartı sağlayan $x$ ve $y$ sayıları bulunamayacağı görülür. İspatlayalım.

Kümeden seçilen her x sayısı $x>n$ şartını sağlar. Yani $x^2>n^2$'dir. Ayrıca $x^{2} \mid y$ ise pozitif tamsayılarda konuştuğumuzdan $y>x^{2}>n^2$'dir. Bu da açık bir çelişkidir.

Yani $k>n^2-n$. Tahmin: $k=n^2-n+1$ bu şartı sağlar. $k=n^2-n+1$'ken bu şartı sağlamayan bir alt küme arayalım. Güvercin yuvası prensibine göre her $n^2-n+1$ elemanlı her kümede ilk $n$ sayıdan en az bir tanesi vardır. Bu sayı $i$ olsun. Bu şartı sağlamayan bir altküme istediğimiz için o kümede $i^2$ olmasın. $i^2$ $\left\{n+1,n+2, \ldots, n^{2}\right\}$ kümesinin bir elemanı olduğu için bu kısımdan maksimum $n^2-n-1$ eleman olabilir. Yani ilk $n$ sayıdan en az $i$ dışında başka bir $i_2$ vardır. Aynı şekilde istemediğimiz $i_2^2$ sayısını
atıldığında ilk $n$'den başka bir $i_3$ elde edilir. Bu böyle atılmaya devam ettikçe (edilmezse zaten sağlanır.) $n^2-n>n$ olduğundan ilk $n$ sayının hepsi o küme içinde elde edilir ve $1$ her sayıyı böldüğünden şart sağlanır.

Sitedeki ilk çözümüm pek emin olmadığım yerler var.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal