Kutupsal koordinatlarda eğri

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): Analitik düzlemde grafiği verilen eğrinin kutupsal koordinatlarda denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ r=\cos(4\theta)
\qquad\textbf{b)}\ r=\cos(2\theta)
\qquad\textbf{c)}\ r=\sin(\theta)
\qquad\textbf{d)}\ r=\sin(2\theta)
\qquad\textbf{e)}\ r=\sin(4\theta)
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

Aradığımız kutupsal denklem $r=f(\theta)$ şeklinde olsun. Verilen grafikten $\theta=\pi/2$ için $r=f(\pi/2)=0$ olduğundan yanıt a,b ve c  seçenekleri olamaz. Zira $\theta=\pi/2$ değeri seçeneklerde yerine konursa sırasıyla $r$ değeri için $1,-1$ ve $1$ değerleri bulunur. Şimdi  $\theta=\pi/4$ değerini seçelim. Verilen grafiğe göre bu değer için $r\gt 0$ olmalıdır. Buna göre yanıt d seçeneği, yani  $r=\sin2\theta$ olabilir. Çünkü bu değer için e seçeneğindeki $r=\sin4\theta=0$ olup $r\gt0$ şartını sağlamaz.

[Lokman Gökçe]

Grafiği önce burada çizdikten sonra soruyu yazdım. Daha sonra bir şey farkettim. $ \pi /2 \leq \theta < \pi $ için $\sin 2\theta <0 $ ve $r<0$ olup $r$ tanımsız oluyor. Çünkü $r,$ analitik düzlemdeki bir noktanın orijine uzaklığını ifade eder ve $ r\geq 0$ olarak tanımlıdır. Ancak grafiğimize göre $\theta = 3\pi/4$ seçilirse $r=1$ olabiliyor fakat $r=\sin 2\theta $ denkleminden $r=-1$ geliyor. Yani bu bakımdan $d$ şıkkı da cevap olmuyor gibi duruyor. Fakat link verdiğimiz wolfram alpha'ya göre cevap tam olarak $r=\sin 2\theta $. Sanırım, $r=\sin 2\theta $, $r= \cos 2\theta $ , ... vs kutupsal denklemlerde $r$ nin negatif gelmesi durumunda mutlak değeri alınıyor.

Not: $r<0$ durumunu burada sordum. Mümkün olduğu ifade edildi. Yani $r=\sin (2 \theta)$ problemimizde bir problem yok.

[alpercay]

$r$  yi "orijine olan uzaklık" olarak değil de "yönlü uzaklık" olarak tanımlarsak sorunumuzu çözeriz. Şöyle bir örnek verelim: Diyelim ki noktamız alışık olduğumuz biçimde $(r,30^{\circ})$ olarak verilsin. Başlangıç ışınımız (burada özel olarak bakış doğrultumuz) $x$ ekseni olmak üzere bu noktaya ulaşmak için bir kaç yol izlenebilir. İlk olarak olduğumuz yerde  $30^{\circ}$ derece dönüp bakış yönümüz doğrultusunda $r$ birim yürüyebiliriz. İkinci olarak $210^{\circ}$ derece dönüp bakış doğrultumuzun ters istikametinde $r$ birim yürüyebiliriz. Üçüncü olarak saatin tersi yönünde $150^{\circ}$ derece dönüp yine bakış yönümüzün ters istikametinde $r$ birim yürüyebiliriz. Buna göre vardığımız noktanın koordinatları $k\in\mathbb{Z}$ olmak üzere sırasıyla $(r,30^{\circ}+k.360^{\circ}),(-r,-150^{\circ}+k.360^{\circ})$ ve $(-r,210^{\circ}+k.360^{\circ})$ şeklinde ifade edilebilir. Burada $-r$ ile hareketin yön değiştirmesi kastedilmektedir. Sonuç olarak kutupsal koordinatlarda bir noktayı tasvir etmenin en az üç (belki başka yollar da vardır) yolu var gözüküyor.