Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 33  (Okunma sayısı 3378 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.424
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 33
« : Aralık 08, 2013, 04:42:36 ös »
$ABC$ üçgeninin $[AL]$ ve $[BM]$ kenarortayları $K$ noktasında kesişiyor. $C,K,L,M$ noktaları çembersel ve $|AB|=\sqrt{3}$ ise $[CN]$ kenarortayının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Mayıs 13, 2014, 11:18:48 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.693
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 33 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Aralık 13, 2013, 11:15:07 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

$\triangle ABC \sim \triangle MLC$ benzer üçgenlerinin kenarları karşılıklı olarak paralel olduğundan $C$ merkezli ve $1/2$ oranlı bir homotetiye sahiptirler. $D$ ve $N$ noktaları homotetik eşlenik olduklarından dolayı $N$ nin $[AB]$ üzerinde yaptığı işi $D$ noktası $[ML]$ üzerinde yapar. Yani $D$, $[ML]$ nin orta noktasıdır. $|MD|=|DL|=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ olur. $K$ noktası $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğu için $|KD|=x$ dersek $|KN|=2x$, $|DC|=3x$ olur. $D$ noktasına göre çemberde kuvvet bağıntısını yazarsak $x\cdot3x=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ olup $x=\dfrac{1}{4}$ bulunur. Buradan $|CN|=6x=\dfrac{3}{2}$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Mayıs 13, 2014, 11:19:58 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 33
« Yanıtla #2 : Temmuz 08, 2024, 06:48:48 öö »
Yanıt: $\boxed{E}$

$|AL|=3t,|BM|=3s$ olmak üzere çemberde kuvvetten $6s^2=2|BL|^2$ ve $6t^2=2|AM|^2$, dolayısıyla da $BL=LC=s\sqrt{3}$ ve $AM=MC=t\sqrt{3}$ olur. Ayrıca $|LM|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olduğu açıktır. Buna göre $CLKM$ kirişler dörtgeninde Batlamyus Teoremi'ne göre
$$|KM|.|LC|+|MC|.|LK|=|KC|.|LM|\Longleftrightarrow \sqrt{3}\left(s^2+t^2\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.|KC|$$
elde edilir. Öte taraftan, $AL$ için Kenarortay Teoremi'ni kullandığımızda
$$2|AL|^2=18t^2=3+12t^2-6s^2\Longleftrightarrow s^2+t^2=\dfrac{1}{2}$$
belirlenir. Uygulanan Batlamyus'a konduğunda $|KC|=1\Longleftrightarrow |CN|=\dfrac{3}{2}$ olarak bulunur.
« Son Düzenleme: Temmuz 08, 2024, 07:09:24 öö Gönderen: geo »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal