Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 02  (Okunma sayısı 4087 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.424
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 02
« : Eylül 05, 2013, 07:25:02 ös »
$\left(x+1\right)^{65}$ polinomunun kaç katsayısı $65$ e bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 18
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 12:38:41 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.553
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 02
« Yanıtla #1 : Mayıs 16, 2014, 10:38:54 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

(Lokman GÖKÇE)

$\binom{65}{0} = \binom {65}{65} = 1$ sayısı $65$ ile tam bölünemez. $\binom{65}{r} = \binom{65}{65-r}$ olduğundan $1\leq r \leq 32$ durumunda bulduğumuz sonucu $2$ ile çarpabiliriz. $65 = 5 \cdot 13$ olduğundan $\binom{65}{r} = \dfrac{65 \cdot 64 \cdots (66-r)}{1\cdot 2 \cdots r}$ kesrinin paydasında $5$ veya $13$ çarpanları olursa bunlar $65$ ile sadeleşeceğinden dolayı $\binom{65}{r}$ ifadesi $65$ in tam katı olamaz.

Daha iyi anlaşılması için $\binom{65}{10} = \dfrac{\color{red}{65} \cdot 64 \cdot 63 \cdot 61 \cdot \color{red}{60} \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \color{red}{5} \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \color{red}{10}}$ kombinasyonunu incelemek faydalı olacaktır.

$\binom{65}{10}$ sayısında $5$ çarpanı olmadığından $65$ ile bölünemez. Bununla beraber $\binom{65}{20} = \dfrac{\color{red}{65} \cdot 64 \cdots \color{red}{50} \cdots 46}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \color{red}{5} \cdot 6 \cdots \color{red}{20}}$ kombinasyonunun payında $50 = 2\cdot 25$ çarpanı olduğundan bu ifade $65$ ile tam bölünebilir.

Sonuçta $8$ tane değer vardır. $r \in \{0,5,10,13,15,25,26,30\}$ için $\binom{65}{r}$ ifadesi $65$ in tam katı olamaz. Toplamda, $8+8 = 16$ değer elde edilir.
« Son Düzenleme: Haziran 14, 2014, 11:36:08 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.553
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 02
« Yanıtla #2 : Mayıs 16, 2014, 10:57:54 ös »
Bu sorunun genel hali, Lucas Teoremi olarak bilinir. Lucas Teoreminin ispatı, Tübitak Lise Takım Seçme 1999 Soru 1 de verilmiştir.
Özetle, $n = (65) = (230)_5$ için, $m$ sayısının $5$ tabanında yazılımında herhangi bir basamaktaki sayı $n$ sayısının $5$ tabanındaki ilgili basamağındaki sayıdan büyükse $5 \mid \binom {65}{m}$ olacaktır.
Tersini düşünürsek, $m=(0)_5$, $(10)_5$, $(20)_5$, $(30)_5$, $(100)_5$, $(110)_5$, $(120)_5$, $(130)_5$, $(200)_5$, $(210)_5$, $(220)_5$, $(230)_5$ sayıları için $5 \nmid \binom{65}{m}$ olacaktır.
Benzer şekilde $n=(50)_{13}$ için, $m$ sayısının $13$ tabanında yazılımında hiçbir basamaktaki sayı, $n$ sayısının ilgili basamağındaki sayıdan büyük değilse; $13 \nmid \binom{65}{13}$ olacaktır. Bu sayılar, $m=(0)_{13}$, $(10)_{13}$, $(20)_{13}$, $(30)_{13}$, $(40)_{13}$, $(50)_{13}$ dir.
$(0)_5 = (0)_{13}$ ve $(230)_5 = (50)_{13}$ olduğu için bu şekilde $12+6-2 = 16$ sayı vardır.
« Son Düzenleme: Kasım 17, 2023, 11:45:15 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 703
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 02
« Yanıtla #3 : Temmuz 10, 2024, 02:18:05 öö »
Yanıt: $\boxed{C}$

Herhangi $p$ asalı için
$$v_p\left(x!\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\lfloor \dfrac{x}{p^i}\rfloor}$$
olduğunu biliyoruz. Buna göre $\dfrac{65!}{k!\left(65-k\right)!}$'nın $65$'e bölünüp bölünmediğini $0-32$ arasını $5$ ve $13$'ün artan katları şeklinde inceleyebiliriz. Yani $v_5(65!)=15,v_{13}(65!)=5$ olduğunu kullandığımızda

$$\begin{array}{l|l|l||l|} k& v_5&v_{13}& \textbf{Bölünme} \\
\hline
k=0 & v_5\left(k!\right)=0, v_{5}\left((65-k)!\right)=15& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{hayır} \\
1\leq k<5 & v_5\left(k!\right)=0, v_{5}\left((65-k)!\right)=14& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{evet} \\
k=5 & v_5\left(k!\right)=1, v_{5}\left((65-k)!\right)=14& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{hayır} \\
6\leq k<10 & v_5\left(k!\right)=1, v_{5}\left((65-k)!\right)=13& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{evet} \\
k=10 & v_5\left(k!\right)=2, v_{5}\left((65-k)!\right)=13& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{hayır} \\
11\leq k<13 & v_5\left(k!\right)=2, v_{5}\left((65-k)!\right)=12& v_{13}\left(k!\right)=0, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{evet} \\
k=13 & v_5\left(k!\right)=2, v_{5}\left((65-k)!\right)=12& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=4& \textbf{hayır} \\
14\leq k<15 & v_5\left(k!\right)=2, v_{5}\left((65-k)!\right)=12& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{evet} \\
k=15 & v_5\left(k!\right)=3, v_{5}\left((65-k)!\right)=12& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{hayır} \\
16\leq k<20 & v_5\left(k!\right)=3, v_{5}\left((65-k)!\right)=10& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{evet} \\
k=20& v_5\left(k!\right)=4, v_{5}\left((65-k)!\right)=10& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{evet} \\
21\leq k<25 & v_5\left(k!\right)=4, v_{5}\left((65-k)!\right)=9& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{evet} \\
k=25 & v_5\left(k!\right)=6, v_{5}\left((65-k)!\right)=9& v_{13}\left(k!\right)=1, v_{13}\left((65-k)!\right)=3& \textbf{hayır} \\
k=26 & v_5\left(k!\right)=6, v_{5}\left((65-k)!\right)=9& v_{13}\left(k!\right)=2, v_{13}\left((65-k)!\right)=2& \textbf{hayır} \\
27\leq k<30 & v_5\left(k!\right)=6, v_{5}\left((65-k)!\right)=8& v_{13}\left(k!\right)=2, v_{13}\left((65-k)!\right)=2& \textbf{evet} \\
k=30 & v_5\left(k!\right)=7, v_{5}\left((65-k)!\right)=8& v_{13}\left(k!\right)=2, v_{13}\left((65-k)!\right)=2& \textbf{hayır} \\
k=31,32 & v_5\left(k!\right)=7, v_{5}\left((65-k)!\right)=7& v_{13}\left(k!\right)=2, v_{13}\left((65-k)!\right)=2& \textbf{evet} \\
\end{array}$$

şeklinde listelenebilir. Bölünmeme durumu ise $\left(v_5(k!)+v_5((65-k)!)=5\right)\lor \left(v_{13}(k!)+v_{13}((65-k)!=5)=true\right)$
olduğu zaman oluşur ve listede "hayır" çıktısı olarak verilmiştir. Buna göre "hayır"lar belirlendiğinde $k\in \{0,5,10,13,15,25,26,30\}$ için $65 \nmid \dbinom{65}{k}$ gerçekleşir ve cevap toplamda 16 olur.
« Son Düzenleme: Temmuz 10, 2024, 04:11:17 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal