Öncelikle eğer sonsuz $x$ için $P(x)=Q(x)$ eşitliği sağlanıyorsa $P$ ve$Q$ polinomlarının her $x$ için birbirine eşit olduğunu hatırlatalım.
Şimdi $n$ yerine sırasıyla $1$ ve $2$ koyalım: Buradan $P(1)=\left| P(1) \right|!$ ve $P(2)=\left| P(2) \right|!$ eşitliklerini elde ederiz. Buradan da $P(1),\,P(2)\in \,\left\{ 1,2 \right\}$ olduğu kolayca görülür. Şimdi durumları inceleyelim:
1. Durum: $P(2)=1.$ Her $n$ pozitif tamsayısı için $P(n!)=\left| P(n) \right|!>0$ olduğundan $n$ yerine herhangi bir $m$ pozitif tamsayısı için $m!$ koyduğumuzda eşitliğimiz $P((m!)!)=\left| P(m!) \right|!=P(m!)!$ halini alır. Yani kısaca $P(n!)=P(n)!$ olur. Bezout Teoremi’nden $\left. n!-2 \right|P(n!)-P(2)=P(n)!-1$ olduğunu söyleyebiliriz. $m\ge 2$ için $n!-2$ çift olur, bu nedenle $P(n)!-1$ de çifttir. O halde $P(n)!$ sayısı tek olmalı. Buradan $P(n)\in \,\left\{ 0,1 \right\}$ olduğunu söyleyebiliriz. (Çünkü $P(n)>1$ için $P(n)!$ sayısı daima çift olur.) Ancak bir $c\in \,\left\{ 0,1 \right\}$ tamsayısı için $P(x)=c$ olacak şekilde sonsuz $x$ tamsayısı bulunabileceğinden her $x$ tamsayısı için $P(x)=c$ olur. Ve $P(2)=1$ olduğundan her $x$ için $P(x)=1$ bulunur.
2. Durum: $P(2)=2$ ve $P(1)=1$. Yine Bezout Teoremi’ni kullanarak $\left. 5=3!-1 \right|P(3!)-P(1)=\left| P(3) \right|!-1$ ve $\left. 4=3!-2 \right|P(3!)-P(2)=\left| P(3) \right|!-2$ olduğunu buluruz. Eğer $\left| P(3) \right|>3$ ise $\left| P(3) \right|!-2$ $4$’e bölünmez. Eğer $\left| P(3) \right|<3$ ise $\left| P(3) \right|!-1$ sayısı $5$’e bölünmez. O halde $\left| P(3) \right|=3$ olmalıdır. Bu nedenle $P(6)=P(3!)=\left| P(3) \right|!=6$ olur. Aynı şekilde $P(6!)=6!$ , $P((6!)!)=(6!)!$ bulunur ve iç içe faktoriyelleri kullanarak $P(x)=x$ şartını sağlayan sonsuz $x$ elde ederiz. Dolayısıyla, sonsuz $x$ tamsayısı için $P(x)=x$ olduğundan her $x$ tamsayısı için $P(x)=x$ olur.
3. Durum: $P(2)=P(1)=2.$ Bezout Teoremi’nden $5=\left. 3!-1 \right|P(3!)-P(1)=\left| P(3) \right|!-2$ olduğu görülür. Bu durumun sağlanması için $\left| P(3) \right|=2$ olmalıdır. Bu nedenle bir önceki durumda yaptığımız gibi $P(6)=P(3!)=\left| P(3) \right|!=2$ olur. Aynı şekilde $P(6!)=2,\,P((6!)!)=2$ olur. Buradan da $P(x)=2$ çözümünü buluruz.
O halde verilen eşitliği sağlayan $P(x)=1,\,P(x)=2,\,P(x)=x$ olmak üzere üç polinom vardır.
