(Eren DURLANIK)
Cevap: $\left|K\left(2004,2004\right)\right|=127$
İddia-1: Her pozitif tamsayı, 2 nin farklı kuvvetlerinin toplamı biçiminde tek türlü ifade edilebilir.
İspat: Tümevarımla ispatlayalım. $n=1$ ve $n=2$ için doğruluğu bariz. İddiamız $1,2,\dots ,n-1$ için doğru olsun, n için de doğru olacağını gösterelim. $2^t\le n<2^{t+1},\ t\in {\mathbb Z}$ ve $n=2^{x_1}+2^{x_2}+\dots 2^{x_k},\ x_1>x_2>\dots >x_k$ olsun; böyle bir yazılımın her zaman bulunduğu açıktır, örnek olarak iki tabanında yazılım verilebilir. Eğer $x_1<t$ olsaydı; $2^t\le n\le 2^0+2^1+\dots +2^{t-1}=2^t-1$ olurdu ve çelişki elde ederdik. $x_1>t$ olamayacağı zaten açıktır, demek ki $x_1=t$ olur. Tümevarım varsayımından $n-2^t$ nin yazılımı da tek türlü belirli olacağından; $n$ in yazılımı da tek türlüdür. Böylece iddianın ispatı tamamlandı.
Her $n=2^{x_1}+2^{x_2}+\dots +2^{x_k}$ pozitif tamsayısı için, $S_n=\{2^{x_1},2^{x_2},\dots ,2^{x_k}\}$ olarak tanımlayalım. İddia-1 den ötürü $S_n$ tek türlü belirlidir.
İddia-2: Her $m\ge n$ için $K(n,m)=K(n,n)$ eşitliği sağlanır.
İspat: $n$ üzerine tümevarımla ispatlayacağız. $n=0$ için $K(0,m)=\{k|1\le k\le 0$ ve $K(k,m)\cap K(-k,m)=\emptyset \}=\emptyset $ olur, çünkü $1\le k\le 0$ şartını sağlayan $k$ değeri yoktur. İddiamız $1,2,\dots ,n-1$ için doğru olsun, $n$ için de doğru olacağını gösterelim. $m=n$ durumu açıktır, varsayalım $m\ge n+1$ olsun. Tanım gereği, $K(n,m)=\{k|1\le k\le n$ ve $K(k,m-1)\cap K(n-k,m-1)=\emptyset \}$ sağlanır.
$m-1\ge n\ge k$ ve $m-1\ge n-1\ge n-k$ olduğundan, tümevarım varsayımını kullanarak, her $k\le n-1$ için $K(k,m-1)=K(k,k)=K(k,n-1)$ ve $K(n-k,m-1)=K(n-k,n-k)=K(n-k,n-1)$ olduğu söylenebilir. Öyleyse $K(n,m)=\{k|1\le k\le n-1$ ve $K(k,n-1)\cap K(n-k,n-1)=\emptyset \}\cup \left\{k\right|k=n\ ve\ K(n,m)\cap K(0,m)=\emptyset \}$ bulunur. Diğer taraftan, $K\left(0,m-1\right)=\emptyset =K\left(0,n-1\right)$ olduğundan, $\left\{k\right|k=n\ ve\ K(n,m-1)\cap K(0,m-1)=\emptyset \}=\{n\}=\left\{k\right|k=n\ ve\ K(n,n-1)\cap K(0,n-1)=\emptyset \}$ olduğunu söyleyebiliriz. Bu eşitliği $K\left(n,m\right)$ ifadesinde yerine yazarsak; $K\left(n,m\right)=\left\{k\right|k=n\ ve\ K(n,n-1)\cap K(0,n-1)=\emptyset \}\cup \{k|1\le k\le n-1$ ve $K(k,n-1)\cap K(n-k,n-1)=\emptyset \}=K(n,n)$ bulunur, tümevarım varsayımı n için doğrudur.
Dolayısıyla tümevarımdan iddia ispatlanmış olur.
$K(n,n)=K_n$ olarak tanımlayalım, yukarıdaki iddiadan ötürü her $1\le m\le n-1$ için $K(m,m)=K(m,n-1)$ ve $K(n-m,n-1)=K(n-m,n-m)$ sağlanır. Bunu $K_n$ de yerine yazarsak$K_n=\left\{k\right|k=n\ ve\ K(n,n-1)\cap K(0,n-1)=\emptyset \}\cup \{k|1\le k\le n-1$ ve $K(k,n-1)\cap K(n-k,n-1)=\emptyset \}=\{n\}\cup \{m|1\le m\le n-1$ ve $K_m\cap K_{n-m}=\emptyset \}$ bulunur \dots (*).
İddia-3: $K_n,\ $ $S_n$ in boş olmayan tüm altkümelerinin elemanları toplamının oluşturduğu kümedir.
İspat: $n$ üzerinden tümevarımla kanıtlayalım. $n=0$ ve $n=1$ için iddianın doğruluğu kolayca kontrol edilir. İddiamız $1,2,\dots ,n-1$ için doğru olsun, $n$ için de doğru olacağını gösterelim. İspatlamamız gereken şey, $S_m\subset S_n\Longleftrightarrow m\in K_n$ olduğudur.($S_m\subset S_n$ olması, $m$ nin $S_n$ in bir altkümesinin elemanları toplamı şeklinde ifade edilebildiği anlamına gelmektedir.) İfadenin iki yönünü de inceleyelim:
$S_m\subset S_n\Rightarrow m\in K_n$: İlk olarak, tümevarım varsayımından, her $1\le m\le n-1$ için $a\in K_m{\rm ,\ }K_{n-m}\Longleftrightarrow S_a\subset S_m,S_{n-m}\Longleftrightarrow {S_a\subset S}_m\cap S_{n-m}\ $elde edilir. Fakat $S_m\subset S_n$ ise $S_{n-m}=S_n/S_m$ olacağından $S_m\cap S_{n-m}=\emptyset $ sağlanır. Demek ki ${S_a\subset S}_m\cap S_{n-m}$ ve dolayısıyla da $a\in K_m{\rm ,\ }K_{n-m}$ olan bir $a$ yoktur. Sonuç olarak, $1\le m\le n-1$ için $S_m\subset S_n$ durumunda $K_m\cap K_{n-m}=\emptyset $ sağlanır ve (*) dan $m\in K_n$ olur. Ayrıca $m=n$ durumunda, (*) dan ötürü $S_n\subset S_n\Longleftrightarrow n\in K_n$ de sağlanır.
$S_m\subset S_n\Leftarrow m\in K_n$: Bunun için, $S_m\not\subset S_n$ ise $m\notin K_n$ olduğunu göstermek yeterlidir. Varsayalım $S_m\not\subset S_n$ ve $m\in K_n$ olsun. (*) dan ötürü $K_m\cap K_{n-m}=\emptyset $ olmalıdır. Dolayısıyla $S_m\cap S_{n-m}=\emptyset $ bulunur. Öyleyse $S_n=S_m\cup S_{n-m}$ olur; fakat bu da $S_m\not\subset S_n$ olması ile çelişir. Demek ki $m\notin K_n{\rm \ }$ olmalıymış.
Sonuç olarak tümevarım varsayımı $n$ için de doğrudur, tümevarımdan iddia ispatlanmış olur.
İddia-3 den ötürü $S_{2004}=\{1024,\ 512,\ 256,\ 128,\ 64,\ 16,4\}$ dür. $S_{2004}$ ün boş olmayan altkümelerinin sayısı $2^7-1=127$ dir. Öte yandan İddia-1 den, bu altkümelerden elemanları toplamı aynı olan farklı iki tanesi yoktur, çünkü bu alt kümelerdeki elemanların toplamı, farklı sayıların ikinin kuvvetleri toplamı şeklindeki yazılımını vermektedir. Öyleyse cevabımız $127$ olacaktır.
