(Burak VARICI)
Cevap: Bu oranın alabileceği en büyük değer $9+\dfrac{9\sqrt{3} }{2} $ dir ve eşitlik eşkenar üçgen için sağlanır.
$a,b,c$ ile üçgenin kenar uzunluklarını ve $\alpha ,\beta ,\gamma $ ile de iç açıları gösterelim. $s$ ile $\triangle ABC$ nin yarıçevresi, her $\triangle XYZ$ üçgeni için de $\text{Ç}\left (XYZ\right )$ ile üçgenin çevresi belirtilsin.
$M=\dfrac{Ç\left (A_{1} B_{1} C_{1} \right )+Ç\left (A_{2} B_{2} C_{2} \right )+Ç\left (A_{3} B_{3} C_{3} \right )}{R} $ olsun. $M$ nin alabileceği en büyük değeri bulmaya çalışıyoruz.
İlk olarak $a+BC_{3} =A_{3} B+b=CA_{3} =CB_{3} =AC_{3} +b{\rm \; }\Rightarrow {\rm \; }a-b=AC_{3} -BC_{3} $. Diğer taraftan $AC_{3} +C_{3} B=c$ olduğundan $AC_{3} =s-b$ ve $C_{3} B=s-a$ bulunur.
Dolayısıyla $CB_{3} =CA_{3} =s$ sağlanır. Sırasıyla $CA_{3} B_{3} $, $AB_{3} C_{3} $ ve $BA_{3} C_{3} $ üçgenlerinde Sinüs Teorem'inden:
$A_{3} B_{3} =2\sin \dfrac{\gamma }{2} .s$, $B_{3} C_{3} =2\left (s-b\right ).\cos \dfrac{\alpha }{2} $ , $A_{3} C_{3} =2\left (s-a\right ).\cos \dfrac{\beta }{2} $.
Dolayısıyla da $Ç\left (A_{3} B_{3} C_{3} \right )=\left (a+b+c\right ).\sin \dfrac{\gamma }{2} +2\left (s-b\right ).\cos \dfrac{\alpha }{2} +2\left (s-a\right ).\cos \dfrac{\beta }{2} $ bulunur. Benzer şekilde:
$Ç\left (A_{1} B_{1} C_{1} \right )=\left (a+b+c\right ).\sin \dfrac{\alpha }{2} +2\left (s-b\right ).\cos \dfrac{\gamma }{2} +2\left (s-c\right ).\cos \dfrac{\beta }{2} $ ve
$Ç\left (A_{2} B_{2} C_{2} \right )=\left (a+b+c\right ).\sin \dfrac{\beta }{2} +2\left (s-a\right ).\cos \dfrac{\gamma }{2} +2\left (s-c\right ).\cos \dfrac{\alpha }{2} $ sağlanır.
Bu eşitlikleri kullanarak: $M=\dfrac{\left (a+b+c\right )\left (\sin \dfrac{\alpha }{2} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \right )+2a\cos \dfrac{\alpha }{2} +2b\cos \dfrac{\beta }{2} +2c\cos \dfrac{\gamma }{2} }{R} $ elde edilir. $\left (*\right )$
Şimdi, $M$ ifadesini parçalayarak her ifadenin alabileceği en büyük değerlere bakalım. İki ifadeyi inceleyeceğiz:
- $\dfrac{\left (a+b+c\right )\left (\sin \dfrac{\alpha }{2} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \right )}{R} \le \dfrac{9\sqrt{3} }{2} $ sağlanır. Bunu ispatlarken $\dfrac{a+b+c}{R} \le 3\sqrt{3} $ ve ${\rm sin}\dfrac{\alpha }{{\rm 2}} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{3}{2} {\rm \; }$ eşitsizliklerini kullanacağız.
- $f\left (x\right )=\sin x$ fonksiyonu ve her $x\in \left[0,\pi \right]$ için $f^{\prime \prime} \left (x\right )=-\sin x\le 0$ olduğundan, fonksiyon $x\in \left[0,\pi \right]$ aralığında konkavdır. Dolayısıyla $\alpha ,\beta ,\gamma \in \left[0,\pi \right]$ için Jensen Eşitsizliği'nden: $$\dfrac{1}{3} \left (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \right ) \le \sin \left (\dfrac{\alpha +\beta +\gamma }{3} \right )=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{a+b+c}{R} =2\left (\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \right )\le 3\sqrt{3}$$ elde edilir.
- Yine $f\left (x\right )=\sin x$ fonksiyonu ve $\dfrac{\alpha }{2} ,\dfrac{\beta }{2} ,\dfrac{\gamma }{2} \in \left[0,\pi \right]$ için Jensen Eşitsizliği'nden: $$\dfrac{1}{3} \left ( \sin \dfrac{\alpha }{2} + \sin\dfrac{\beta }{2} + \sin\dfrac{\gamma }{2} \right )\le \sin \left (\dfrac{\dfrac{\alpha }{2} +\dfrac{\beta }{2} +\dfrac{\gamma }{2} }{3} \right )=\sin 30^\circ =\dfrac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \sin \dfrac{\alpha }{2} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \le \dfrac{3}{2}$$ bulunur.
Sonuç olarak, $\dfrac{\left (a+b+c\right )\left (\sin \dfrac{\alpha }{2} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \right )}{R} \le \dfrac{9\sqrt{3} }{2} $ elde ederiz.
- $\dfrac{2a\cos \dfrac{\alpha }{2} +2b\cos \dfrac{\beta }{2} +2c\cos \dfrac{\gamma }{2} }{R} \le {\rm 9}$ sağlanır. Öncelikle $a\cos \dfrac{\alpha }{2} +b\cos \dfrac{\beta }{2} +c\cos \dfrac{\gamma }{2} $ ifadesine bakalım.
Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$ varsayalım. Dolayısıyla $\alpha \ge \beta \ge \gamma $ sağlanır.
Ayrıca $f\left (x\right )=\sin x$ fonksiyonu, $x\in \left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ aralığında artan olduğundan, $$\sin \dfrac{\alpha }{2} \ge \sin \dfrac{\beta }{2} \ge \sin \dfrac{\gamma }{2}$$ bulunur. $\Rightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} \le \cos \dfrac{\beta }{2} \le \cos \dfrac{\gamma }{2} $.
Yani $a\ge b\ge c$ ve $\cos \dfrac{\alpha }{2} \le \cos \dfrac{\beta }{2} \le \cos \dfrac{\gamma }{2} $. Chebyshev Eşitsizliği'nden:
$$a\cos \dfrac{\alpha }{2} +b\cos \dfrac{\beta }{2} +c\cos \dfrac{\gamma }{2} \le \left (\dfrac{a+b+c}{3} \right )\left (\cos \dfrac{\alpha }{2} +\cos \dfrac{\beta }{2} +\cos \dfrac{\gamma }{2} \right ){\rm \; }\dots\left (1\right )$$
$f\left (x\right )=\cos x$ fonksiyonu ve $x\in \left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ için $f^{\prime \prime}\left (x\right )=-\cos x\le 0$ olduğundan, fonksiyon $x\in \left[0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ aralığında konkavdır. Dolayısıyla Jensen Eşitsizliği'nden
$$\dfrac{1}{3} \left ( \cos\dfrac{\alpha }{2} \cos\dfrac{\beta }{2} + \cos \dfrac{\gamma }{2} \right )\le \cos \left (\dfrac{\dfrac{\alpha }{2} +\dfrac{\beta }{2} +\dfrac{\gamma }{2} }{3} \right )=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$$ $$\Rightarrow \left ( \cos \dfrac{\alpha }{2} +\cos \dfrac{\beta }{2} +\cos \dfrac{\gamma }{2} \right )\le \dfrac{3\sqrt{3} }{2}$$ bulunur. Bunu $\left (1\right )$'de yerine koyarsak:
$a\cos \dfrac{\alpha }{2} +b\cos \dfrac{\beta }{2} +c\cos \dfrac{\gamma }{2} \le \left (\dfrac{a+b+c}{3} \right )\left (\cos \dfrac{\alpha }{2} +\cos \dfrac{\beta }{2} +\cos \dfrac{\gamma }{2} \right ){\rm \; }\le \dfrac{\sqrt{3} }{2} \left (a+b+c\right )$ sağlanır. Buradan ve $\left (i\right )-\left (a\right )$ dan hareketle, $\dfrac{2a\cos \dfrac{\alpha }{2} +2b\cos \dfrac{\beta }{2} +2c\cos \dfrac{\gamma }{2} }{R} \le 2.\dfrac{\sqrt{3} }{2} \left (\dfrac{a+b+c}{R} \right )\le {\rm 9}$ bulunur.
Ana eşitsizliğimize dönersek, $\left (i\right )$ ve $\left (ii\right )$'den:
$M=\dfrac{\left (a+b+c\right )\left (\sin \dfrac{\alpha }{2} +\sin \dfrac{\beta }{2} +\sin \dfrac{\gamma }{2} \right )+2a\cos \dfrac{\alpha }{2} +2b\cos \dfrac{\beta }{2} +2c\cos \dfrac{\gamma }{2} }{R} \le 9+\dfrac{9\sqrt{3} }{2} $ elde ederiz. Eşitlik, Jensen Eşitsizliklerinde eşitlik varken, yani $\alpha =\beta =\gamma =60^\circ$ iken sağlanır, İspat biter. $\square $
