(Burak VARICI)
Cevap: Bu şartı sağlayan hiç $f:{\mathbb Z}\to {\mathbb Z}$ fonksiyonu yoktur.
$P(m,n)$ ile $f(n)-f(n+f(m))=m$ denklemini ifade edelim.
Varsayalım bir $a,b\in {\mathbb Z}$ikilisi için $f(a)=f(b)$ sağlansın. Sırasıyla $P(m,a)$ ve $P(m,b)$ ye bakarsak $a=f(n)-f(n+f(b))=f(n)-f(n+f(b))=b$ ve dolayısıyla $a=b$ bulunur. Demek ki $f$ fonksiyonu birebirdir.
$P(0,0):f(0)-f(f(0))=0 \Rightarrow {\rm \; }f(0)=f(f(0))$. Fonksiyon birebir olduğundan $f(0)=0$ buluruz. $$P(m,0): f(0)-f(f(m))=m \Rightarrow f(f(m))=-m{\rm \; }\dots(*)$$
$(*)$'ı kullanarak $P(f(m),n)$ i incelersek:
$f(n)-f(n+f(f(m))=f(n)-f(n-m)=f(m)$ $\Rightarrow {\rm \; }f(n)=f(m)+f(m-n)$ elde ederiz. $a=n-m{\rm \; },{\rm \; }b=m$ şeklinde bir dönüşüm yaparsak:
$f(a+b)=f(a)+f(b)$, $\forall a,b\in {\mathbb Z}$. Yani fonksiyon Cauchy Eşitliği'ni sağlar.
Bu durumda $f(1)=c$ olmak üzere fonksiyon $f(x)=cx$ biçiminde olmalıdır.
Bunu ilk denklemde yerine yazarsak:
$cn-c(n+cm)=m{\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; }cm^{2} =-m$ bulunur. Fakat bu da $m\ne 0$ için $c^{2} =-1$ demektir, bu durum $c$'nin tamsayı olmasıyla çelişir.
Dolayısıyla böyle bir $f:{\mathbb Z}\to {\mathbb Z}$ fonksiyonu yoktur. $\triangleright $
