Tübitak Lise 2. Aşama 2004 Soru 1

[geo]

$m(\widehat{B})>m(\widehat{C})$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesine ait yükseklik, açıortay ve kenarortayın ayakları, sırasıyla, $H$, $L$ ve $D$ noktalarıdır. $m(\widehat{HAL})=m(\widehat{DAL})$ olması için gerek ve yeter koşulun, $m(\widehat{BAC})=90^{\circ}$ olması olduğunu gösteriniz.

[geo]

İddia:
$\angle HAL=\angle DAL$  ise $\angle BAC={90}^{\circ }$

$AL$ açıortay olduğu için $\angle BAH=\angle CAD$.
$[AD$, $\triangle ABC$ nin çevrel çemberini $E$ de kessin. $\angle ABH={90}^{\circ }-\angle BAH=\angle AEC$ ve $\angle AEC+\angle EAC={90}^{\circ }$ olduğu için $AE$ çevrel çemberin çapıdır. Çemberin merkezi hem $BC$ nin orta dikmesi üzerinde, hem de $AE$ üzerinde olacak. $AE$ doğrusu ile $BC$ doğru parçasının orta dikmesi $D$ noktasında kesişir. O halde $D$, çevrel çemberin merkezi, yani, $\angle BAC={90}^{\circ }$.

İddia:
$\angle BAC={90}^{\circ }$ ise $\angle HAL=\angle DAL$

$\angle ACB=\angle DAC=\angle BAH$ ve $AL$ açıortay olduğu için $$\angle HAL=\angle LAB-\angle BAH=\angle LAC-\angle DAC=\angle DAL$$ elde edilir.
Bu durumda $\angle HAL=\angle DAL\Leftrightarrow \angle BAC={90}^{\circ }$.

Not:
Bir açının köşesinden geçen bir doğrunun, o açının açıortayına göre simetriğine o doğrunun izogonal eşleniği denir. Özel olarak, kenarortayın izogonal eşleniğine kenarortaysı denir. Bir üçgende yüksekliğin izogonal eşleniği, çevrel çemberin merkezinden geçer. Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüse ait kenarortaysıdır.

Bu soru Ulusal Matematik Olimpiyatı 1. Aşama - 2012'de de soruldu.