$M = m_1m_2 \cdots m_k$ olsun. $1,2,\dots, M$ kümesinin elemanlarından
$\dfrac {M}{m_1}$ tanesi $x \equiv a_1 \pmod {m_1}$ denkliğini sağlar.
$\dfrac {M}{m_2}$ tanesi $x \equiv a_2 \pmod {m_2}$ denkliğini sağlar.
$\vdots$
$\dfrac {M}{m_k}$ tanesi $x \equiv a_k \pmod {m_k}$ denkliğini sağlar.
$1,2,\dots, M$ kümesinin elemanlarından en az bir denkliği sağlayanların sayısı $S$ olsun.
$$S \leq \sum\limits_{i=1}^k \dfrac M{m_i} \leq M \cdot \sum\limits_{i=1}^k \dfrac 1{m_1 \cdot 2^{i-1}} = \dfrac {M}{m_1}\left (1 + \dfrac 12 + \dfrac 14 + \dots + \dfrac 1{2^{k-1}}\right) < \dfrac {2M}{m_1} \leq M$$ Bu durumda $S<M$ elde edildiği için $1,2,\dots, M$ kümesinden en az bir eleman denkliklerin hiçbirini sağlamaz. Bu elemana $x_0$ dersek, $i=0,1,2,\dots$ için $x_i = M\cdot i + x_0$ sayılarından hiçbiri denklikleri sağlamayacak. $\blacksquare$