Tübitak Lise 2. Aşama 1993 Soru 2

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ ($m(\widehat{B})=90^{\circ}$) üçgeninin $I$ merkezli iç teğet çemberi, $\lbrack BC\rbrack , [CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırası ile $D,E$ ve $F$ noktalarında değiyor. $\lbrack CI \cap \lbrack EF\rbrack ={L}$ ve $\lbrack DL \cap \lbrack AB\rbrack ={N}$ olduğuna göre $\vert AI\vert =|ND|$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

$|CD|=|CE|$ ve $CI$ iç açıortay olduğundan $\triangle DCL \cong \triangle ECL $ (K-A-K eşliği) olup bu eşlikten dolayı $m(\widehat{NDB})=m(\widehat{FEA})$ olur. Ayrıca $|AE|=|AF|$ olduğundan $m(\widehat{AFE})=m(\widehat{FEA})$ dır. Bu açı eşitliklerinden dolayı $m(\widehat{NDB})=m(\widehat{AFE})$ olup $BDLF$ bir kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $ND \perp FE$ dir. Açık olarak $AFE$ ikizkenar üçgeninde $AI \perp FE$ dir. Böylece $$ AI \parallel ND $$ bulunur. Diğer taraftan $AN \perp BC$ ve $ID \perp BC$ olduğundan $$ AN \parallel ID $$ dir. $AIDN$ dörgeninde karşılıklı kenarlar paralel olduğundan bu dörtgen bir paralelkenardır ve paralel olan bu kenarlar eşit uzunluktadır.

Sonuç olarak, $|AI|=|ND|$ elde edilir.