$a^b \equiv 1 \pmod b$, $a^c \equiv 1 \pmod c$ ve $(b,c)=1$ olduğunda $b \mid a^{bc} - 1$ ve $c \mid a^{bc} - 1$, dolayısıyla $bc \mid a^{bc} - 1$ olacaktır.
$x$, herhangi $1\leq m \leq k$ tane farklı $n_i$ sayısının çarpımı olduğunda $n_i$ ler aralarında asal olduğu için $a^x \equiv 1 \pmod x$ olacaktır.
$\alpha$ ve $\beta$, $1,2,\dots, k$ kümesinin sırasıyla $r$ ve $s$ elemanlı permütasyonu olmak üzere; $$n_{\alpha (1)} \cdot n_{\alpha (2)} \cdots n_{\alpha (r)} = n_{\beta (1)} \cdot n_{\beta (2)} \cdots n_{\beta (s)}$$ olması için $r=s$ ve $\alpha = \beta$ olması gerekir. Aksi halde sol ve sağ taraftaki aynı olan $n_i$ ler sadeleştirildikten sonra geri kalan $n_i$ lerden herhangi biri diğer taraftaki farklı çarpımı bölmek zorunda olduğundan aralarında asallık durumu bozulmuş olur.
O halde, $n_i$ lerin çarpımlarından oluşan kümenin her elemanı $x$ in bir değeri olabilir. Bu şekilde, (boş kümeyi çıkartalım) $2^k - 1$ adet $x$ değeri vardır.
Bu kümenin bir elemanı $b$ olsun. $[a-1, b]=\ell$ ile $(a-1)$ ile $\ell$ sayılarının $\text{okek}$ ini gösterelim. $(a-1)\mid a^{\ell}-1$ ve $b \mid a^{\ell}-1$ olduğu için $\ell \mid a^{\ell} - 1$ dir.
$[a-1, n_i] = \ell_i$ olsun. $\ell_i$ sayılarını önceki kümedeki elemanlarla ve kendi aralarında farklılık açısından karşılaştıracağız.
Bu kümenin $\ell = c$ olacak şekilde bir $c$ elemanı bulunamaz. Çünkü $c$ nin $n_i \nmid b$ olan $n_i$ çarpanı için $n_i \nmid (a-1)$ dolayısıyla da $n_i \nmid \ell$ olacaktır.
Bu kümenin bir $d$ elemanı için $[a-1, d] = u$ olsun. $b\neq d$ olduğunda $\ell = u$ olamaz. Yine benzer şekilde $d$ nin $n_i \nmid b$ olan çarpanı için $n_i \nmid \ell$ olacaktır.
Bu durumda $2 \cdot (2^{k} -1 ) = 2^{k+1}-2$ adet $x$ tam sayısı bulmuş olduk.
