Tübitak Lise 2. Aşama 1993 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$n$ pozitif bir tamsayı ve $A=\{1,\ldots ,n\}$ olsun. $f:A\to A $ ve $\sigma :A\to A$ gibi iki permütasyon için, eğer $(f \circ\sigma )(1),\ldots,(f \circ \sigma )(k)$ artan ve $(f \circ\sigma )(k),\ldots,(f \circ\sigma )(n)$ azalan bir dizi olacak şekilde bir $k \in A$ var ise, $f,\sigma $ 'ya göre "tek tepeli''dir diyeceğiz. $S_{\sigma }$ ile $\sigma $'ya göre tek tepeli permütasyonların kümesini gösterelim.
$n\ge 4$ ise, $ S_{\sigma }\cap S_{\pi }=\phi $ olacak şekilde $\sigma $ ve $\pi $ permütasyonlarının var olduğunu gösterelim.

[geo]

$\sigma \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{2}\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{3}\genfrac{}{}{0pt}{}{4}{4}\dots \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n}\right)$ ve $\pi \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{1}{2}\genfrac{}{}{0pt}{}{2}{1}\genfrac{}{}{0pt}{}{3}{4}\genfrac{}{}{0pt}{}{4}{3}\genfrac{}{}{0pt}{}{5}{5}\dots \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{n}\right)\ $olsun. $\left(f\circ \sigma \right)$ nın ilk dört elemanı tek tepeli bir diziliş gösterecek. Bu dört sayıyı $a<b<c<d$ ile göstermek yerine $1<2<3<4$ ile gösterirsek, tek tepelilik özelliğini takip daha kolay olacaktır.
$$\left(1,4,3,2\right)  \left(2,4,3,1\right) \left(3,4,2,1\right) \left(1,2,4,3\right) \left(1,3,4,2\right) \left(2,3,4,1\right) \left(1,2,3,4\right) \left(4,3,2,1\right)$$

Görüldüğü gibi  $4$ elemanla $8$ farklı şekilde tek tepeli bir diziliş oluşturabiliyor.

$\left(f\circ \pi \right)$ fonksiyonunun bu ilk dört elemanı

$\left(4,3,2,3\right)$  $\left(4,2,1,3\right)$ $\left(4,3,1,2\right)$ $\left(2,1,3,4\right)$ $\left(3,1,2,4\right)$ $\left(3,2,1,4\right)$ $\left(2,1,4,3\right)$ $\left(3,4,1,2\right)$ şeklinde olacaktır. Bu durumda $f$, $\sigma $'ya göre tek tepeli iken; $\pi $'ye göre tek tepeli değildir. Bu durumda $S_{\sigma }$ kümesinin hiçbir elemanı $S_{\pi }$ kümesinde yer almaz. Yani $S_{\sigma }\cap S_{\pi }=\varnothing  $ dır.