Gönderen Konu: Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 4  (Okunma sayısı 4613 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 4
« : Ağustos 06, 2013, 02:55:42 öö »
Her $n>1$ için $a_{n}=a_{n-1}(2-a_{n-1})$, $\dfrac{1}{2}<a_{1}<1$ ve $\sum\limits_{n=1}^{2000}{a_{n}}=1999$ koşullarını sağlayan tüm $(a_{n})$ gerçel sayı dizilerini bulunuz.
« Son Düzenleme: Ekim 11, 2014, 12:37:23 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: 4 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2013, 02:58:16 öö »
Her $n>1$ için, $$1-a_n=1-a_{n-1}\left(2-a_{n-1}\right)={\left(1-a_{n-1}\right)}^2;$$ dolayısıyla da $$1-a_n={\left(1-a_1\right)}^{2^{n-1}}$$ olur. $\left(a_n\right)$ verilen koşuları sağlayan bir gerçel sayı dizisi ise, $$1=2000-1999=2000-\sum^{2000}_{n=1}{a_n}=\sum^{2000}_{n=1}{\left (1-a_n\right)}$$ $$=\sum^{2000}_{n=1}{{\left(1-a_1\right)}^{2^{n-1}}\ } < \sum^{\infty }_{n=1}{{\left(1-a_1\right)}^n}=\dfrac{1-a_1}{a_1}<1$$ olacağı için, böyle bir dizinin bulunmadığı gösterilmiş olur.

Kaynak:
Matematik Dünyası 2000-II
« Son Düzenleme: Aralık 17, 2023, 07:30:25 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 4
« Yanıtla #2 : Ocak 31, 2022, 01:05:08 öö »
Benzer bir çözümü dizinin genel terimini bulmadan yapacağız.

$1-a_n = 1 - a_{n-1}(2-a_{n-1}) = (1-a_{n-1})^2$

$b_n = 1 - a_n$ olsun.

$b_n = b_{n-1}^2$ ve $0<b_1<\dfrac 12$ olacaktır.

$b_n = b_{n-1}b_{n-1} < \dfrac 12 \cdot b_{n-1}$ olacağı için $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} b_n < \dfrac 12 + \dfrac 14 + \dfrac 1{8} + \cdots + \dfrac 1{2^{2000}} < 1$ olacaktır.

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} a_n = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} \left(1-b_n\right) = 2000 - \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} b_n > 1999$ olacaktır. Dolayısıyla eşitliği sağlayan dizi yoktur.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 07:58:42 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal