$3^n$ Çarpanı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

n bir tamsayı olmak üzere 3ⁿ sayısı, 1.3.5...97.99 çarpımının bir çarpanı ise n nin en büyük değeri nedir?

[orhangokce]

cevap 27 mi?
şimdi de 39 çıktı;)

[Lokman Gökçe]

cvp 26 olacak hocam.

[orhangokce]

burada nerede hata var anlayamadım_?

[Lokman Gökçe]

Elinize sağlık hocam. çözümünüzde 9a şeklindeki sayıları sayarken a = 1, 3, 5, 7, 9 durumlarını saymışsınız. ayrıca a = 11 yazarsak 99 = 3.3.11  şeklinde ifade edilir. Buradaki 3 çarpanlarından sadece birini incelemişsiniz. İki tane 3 çarpanı olduğundan cevap 25 değil, 25 + 1 = 26 olur.

2. yol: 1.3.5...97.99 = 99!/(2.4.6...98) = 99!/[2⁴⁹.49!] biçiminde yazalım. De Polignac formülüne göre

99! içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 33 + 11 + 3 + 1 = 48
49! içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 16 + 5 + 1 = 22

olduğundan 99!/[2⁴⁹.49!] içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 48 - 22 = 26 olur. Yani en fazla n = 26 dır.

[orhangokce]

Aslında 2. yolu da düşünmüştüm ama orada önce 39 buldum sonra hatamı anlayınca tekrar ilk yola döndüm.
De Polignac formülünü de öğrenmem gerekir.

[Lokman Gökçe]

De Polignac, ismini pek bilmesek de aslında sıkça kullandığımız bir formüldür. Örnekle açıklayalım:

25! içindeki 3 çarpanlarının sayısını bulmak istiyoruz. Önce 25/3 ün tam kısmını buluruz. Bu 8 dir.
Sonra 8/3 ün tam kısmını buluruz. Bu da 2 dir.
2/3 ün tam kısmı 0 olduğundan bundan sonra işlem yapmayız.
Bu tam kısımların toplamı 8 + 2 = 10 dur. Demek ki 25! içinde 10 tane 3 çarpanı vardır, deriz. İşte bu De Polignac formülünün bir uygulaması

[orhangokce]

Biraz araştırınca aşağıdaki bilgiyi de buldum:
Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?