collapse collapse

* Geomania Facebook!


* Kullanıcı Bilgisi

 
 
Hoşgeldiniz Ziyaretçi. Lütfen giriş yapın veya kayıt olun.

* Kimler Çevrimiçi

  • Nokta Ziyaretçi: 61
  • Nokta Örümcek: 1
  • Nokta Gizli: 0
  • Nokta Üye: 0

Çevrimiçi kullanıcı bulunmuyor.

* İstatistikler

  • stats Toplam Üye: 3.436
  • stats Toplam İleti: 22.292
  • stats Toplam Konu: 8.444
  • stats Toplam Kategori: 13
  • stats Toplam Bölüm: 451
  • stats En Çok Çevrimiçi: 995

* En Popüler Bölümler


* Takvim

Temmuz 2024
Paz Pzt Sal Çar Per Cum Cmt
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 [20]
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31

Bugün için herhangi bir içerik bulunmuyor.

Geomania Facebookta!

Geomania'da ki değişiklikleri sosyal medyada takip etmek için Anasayfamızda ki "Beğen" butonuna tıklayınız.

Düzlem Geometri Problemleri

Üç bölümden oluşan bu cilt ile ulaşmak istediğimiz hedef kitle öncelikle, her yaştan geometri severlerdir. Ulusal – uluslar arası çaptaki matematik yarışmalarında geometri problemleri önemli bir yer tutmaktadır. Bizler de bu tür yarışmalara katılan öğrencilerimiz için bir kaynak kitap oluşturmayı amaçladık. Ayrıca matematik alanında proje çalışması yapmak isteyen genç ve yetenekli dimağlara, verilen problemleri geliştirip yeni fikirler ortaya koyabilecekleri bir eser sunmak istedik. İlk bölümde bir üçgenin açıortay, kenarortay, yükseklik özellikleri ele alınmıştır. Euler ve Leibnitz’e ait bazı ilginç formüllerin uygulamalarına yer verilmiştir. İkinci bölümde üçgen taşıma problemleri üzerinde durulmuştur. Ayrıca afin dönüşüm kavramının geometri problemlerine uygulanması anlatılmıştır. Üçüncü bölümde ise noktadaşlık, doğrusallık problemlerinin çözümünde izlenebilecek yollar anlatılmıştır. Homoteti kavramının bu problemlerin çözümünde nasıl kullanılabileceği açıklanmıştır. Tüm bu konular, çeşitli uluslara ait matematik olimpiyatlarında çıkmış zor ve oldukça estetik sorularla daha ilgi çekici hale getirilmiştir. Okuyucularımıza iyi eğlenceler diliyoruz…
Kitabın içeriğinden örnek için tıklayın!

* Yarışma Soruları PDF'leri

1. Aşama, 2. Aşama, Takım Seçme, IMO PDF'leri güncellenmiştir. (11 Ocak 2024)


Geomania Portal'a Hoşgeldiniz!

Geomania.Org büyüyen forum içeriğini kolay ulaşılabilir hale getirmek için bu yolu seçmiştir. İlerleyen zamanda forumda daha önce paylaştığımız (sorular dışında ki) yazılarımızı burada kategorize etmek düşüncesindeyiz. Sizlerde paylaşmak istediğiniz yazılar için portalımızı düşünebilirsiniz. Böylece hızla büyüyen Türkiye'nin en prestijli matematik portalını siz değerli üyelerimize sunuyoruz. Bundan sonra ki dönemlerde de sizlere en iyiyi verebilmek adına çalışmalarımız devam edecektir.Şimdilik forumun tüm fonksiyonlarını kullanarak anasayfamıza ısının. Bizde bu arada anasayfamıza ekleyeceğimiz yazılarımızı belirlemekle meşgul olacağız. Sevgi,saygı ve muhabbetle... Yönetim Adına Murat.

* Geomania Etiketleri


clipRavi Dönüşümü Çalışma Kağıdı

Lokman Gökçe
Ekim 12, 2023, 02:13:07 ös Gönderen: Lokman Gökçe
Görüntülenme: 3292 | Yorumlar: 0

Daha önce sitemizde Ravi dönüşümü ile ilgili olarak sunduğum bazı problemleri derleyerek çözümlü bir çalışma kağıdı hazırladım. Faydalı olması dileğiyle, esenlikler ...


xxÜstlü sayılar {çözüldü}

Ocak 22, 2023, 11:11:51 ös Gönderen: alpercay | Görüntülenme: 2272 | Yorumlar: 4

$x^{x^3}=36$ ise $x$ değeri kaçtır?

xx$\mathbb{Z}[\omega]$ neden UFD'dir?

Haziran 06, 2022, 05:40:46 öö Gönderen: Metin Can Aydemir | Görüntülenme: 4345 | Yorumlar: 5

Bu gönderide $\mathbb{Z}\left[\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right]$ veya kısaca $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ için $\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$'nin neden UFD (Unique Factorization Domain) olduğunu göstereceğim. Bunu ispatını foruma ekleme sebebim başka bir iletide kullanacak olmam ve akıllarda soru işareti bırakmamaktır. Öncelikle tanımları yapalım. Elimden geldiğince terimleri türkçeleştirmeye çalışacağım fakat halihazırda kullanılan türkçeleştirmeleri kaçırmış olabilirim.

Grup (Group): $(G,\cdot)$ ikilisi şu şartları sağlıyorsa grup olarak adlandırılır;
i) $G$ bir kümedir,
ii) $\cdot$ bir binary işlemdir, yani $G\times G$'den $G$'ye bir fonksiyondur,
iii) $\forall a,b,c\in G$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ sağlanıyor,
iv) Öyle bir $e\in G$ elemanı vardır ki $\forall a\in G$ için $a\cdot e=e\cdot a=a$ sağlanıyor ve $\forall a\in G$ için öyle bir $b\in G$ vardır ki $a\cdot b=b\cdot a=e$ sağlanıyor.

Bunlara ek olarak eğer her $a,b\in G$ için $a\cdot b=b\cdot a$ sağlanıyorsa, $(G,\cdot)$'ye Abelyen grup (Abelian group) denir (genellikle $\cdot$ işleminin ne olduğu kümeden tahmin edilebildiği için sadece $G$'ye grup deniliyor). Ayrıca $e$'ye özdeş (etkisiz, birim) eleman denir.

Halka (Ring): $(R,+,\cdot)$ üçlüsü şu şartları sağlıyorsa halka olarak adlandırılır;
i) $(R,+)$ bir Abelyen gruptur,
ii) $\cdot$ bir binary işlemdir yani $R\times R$'den $R$'ye giden bir fonksiyondur,
iii) $\forall a,b,c\in R$, $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ sağlanıyor,
iv) $\forall a,b,c\in R$, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
v) $\forall a,b,c\in R$, $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

Bunlara ek olarak eğer her $a\in R$ için $u\cdot a=a\cdot u=a$ olacak şekilde bir $u\in R$ varsa $R$'ye birimli halka denir. Bu $u$ elemanı genellikle $1_R$ ile, $(R,+)$ grubunun etkisiz elemanı ise $0_R$ ile gösterilir.

Eğer her $a,b\in R$ için $a\cdot b=b\cdot a$ ise $R$'ye değişmeli halka (commutative ring) denir (Burada da sadece $R$'ye halka deniliyor).

$a,b\in R$ için eğer $a\cdot b=b\cdot a=1_R$ ise $a$ ve $b$'ye birim eleman denir (buradaki birim eleman ile yukarıdaki birim elemanı karıştırmayın. Gruptaki birim eleman "identity" olarak adlandırılırken buradaki "unit" olarak adlandırılıyor.).

$R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun ve $c\in R-\{0_R\}$ çarpmaya göre birim eleman olmasın. Eğer $c=a\cdot b$ olmasını sağlayan her $a,b\in R$ için $a$ veya $b$ çarpmaya göre birim eleman oluyorsa, $c$'ye indirgenemez eleman denir.

Althalka (Subring): $R$ bir halka olsun. Eğer $S$ bir halka ve $R$'nin altkümesiyse $S$'ye althalka denir.

İdeal: $R$ bir halka olsun. Eğer $I$ bir althalkaysa ve her $x\in I$ ve $r\in R$ için $r\cdot x\in I$ ve $x\cdot r\in I$ ve her $x,y\in I$ için $x-y\in I$ ise $I$'ya ideal denir (Burada $x-y$'den kasıt $x$ ve $y$'nin toplamaya göre tersinin toplamıdır).

Esas İdeal (Principal İdeal): Eğer $I$, $R$'nin bir ideali ise ve her $x\in I$ için $x=a\cdot r$ veya $x=r\cdot a$ olacak şekilde bir $a\in R$ olmasını sağlayan sabit bir $r\in I$ varsa $I$'ya esas ideal denir ve $I=(r)$ ile gösterilir.

Sıfır Bölen (Zero divisor): $R$ bir halka olsun. $a,b\in R-\{0_R\}$ elemanları için eğer $a\cdot b=0_R$ ise $a$ ve $b$'ye sıfır bölen denir.

Tamlık Bölgesi (Integral Domain): $R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun. Eğer $1_R\neq 0_R$ ise ve $R$'nin sıfır bölen elemanı yoksa $R$'ye tamlık bölgesi denir.

Esas İdeal Bölgesi (Principal Ideal Domain - PID): $R$ bir tamlık bölgesi olsun. Eğer $R$'nin her ideali aynı zamanda esas ideal ise $R$'ye esas ideal bölgesi denir.

Öklid Bölgesi (Euclidean Domain): $R$ bir tamlık bölgesi olsun.

i) $\forall a,b\in R$, $ab\neq 0$ ise $f(a)\leq f(ab)$'dir,
ii) Her $a\in R$ ve $b\in R-\{0_R\}$ için $a=bq+r$ ve ($r=0_R$ veya $0\leq f(r)\leq f(b)$) olacak şekilde $q,r\in R$ vardır.

Eğer bu şartları sağlanacak şekilde $f:R-\{0_R\}\to \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ fonksiyonu varsa $R$'ye Öklid bölgesi denir.

Tek Türlü Çarpanlarına Ayrılabilir Bölge (Unique Factorization Domain - UFD): $R$ bir tamlık bölgesi olsun. Eğer şu şartlar sağlanıyorsa;
i) $\forall a\in R-\{0_R\}$ için eğer $a$ çarpmaya göre birim değilse $a$ sayısı bazı indirgenemez sayıların çarpımı olarak yazılabilir.
ii) Eğer $c_1,c_2,\dots,c_n$ ve $d_1,d_2,\dots, d_m$ sayıların $R$'de indirgenemez ve $$c_1\cdot c_2\cdot c_3\cdots c_n=d_1\cdot d_2\cdots d_m$$ ise $m=n$'dir ve $d_1,d_2,\dots, d_m$ sayıları $c_1,c_2,\dots,c_n$ sayılarının herhangi bir sırada dizilmiş halinin bazı birim elemanlarla çarpılmış halidir. Örneğin $6$ sayı $2\cdot 3$ olarak da $(-3)\cdot (-2)$ olarak da yazılabilir çünkü $-1$ sayısı $\mathbb{Z}$'de çarpmaya göre birimdir.

Bu durumda $R$'ye UFD denir.

Teorem 1: Her PID aynı zamanda UFD'dir.
Teorem 2: Her Öklid bölgesi aynı zamanda PID'dir.
Teorem 3: $\mathbb{Z}[\omega]$ bir Öklid bölgesidir.

Dolayısıyla bu üç teorem ispatlanırsa $\mathbb{Z}[\omega]$'nin UFD olduğunu ispatlamış oluruz. Teorem 1'in ispatı için üç tanım daha yapmalıyız.

Bölünebilirlik: $R$ bir halka olsun. $a,b\in R$ için $a$ böler $b$ demek $a\cdot x=b$ olacak şekilde bir $x\in R$ olması demektir ve $a\mid b$ olarak gösterilir.

Asal eleman: $R$ değişmeli ve birimli bir halka olsun. $c\in R-\{0_R\}$ ve birim olmayan bir eleman olsun. Eğer $c\mid a\cdot b$ olan her $a,b\in R$ için $c\mid a$ veya $c\mid b$ ise $c$'ye asal eleman denir.

Maksimal İdeal: $R$ bir halka ve $M\neq R$ ise onun bir ideali olsun. Eğer $M$'yi kapsayan idealler sadece $M$ ve $R$'nin kendisi ise $M$'ye maksimal ideal denir.

clipFaydalı Bir Eşitsizlik (Bergström's inequality) Üzerine Bazı Bilgiler

Lokman Gökçe
Şubat 13, 2022, 03:07:21 ös Gönderen: Lokman Gökçe
Görüntülenme: 2604 | Yorumlar: 1

Bu yazıda Faydalı eşitsizlik ile ilgili bir kolay bir problem ve eşitsizliğin kökeni ile ilgili bazı bilgiler sunacağız.


Problem: $a\cdot b \cdot c \neq 0$ olan $a, b, c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2=1$ eşitliğini sağladığına göre, $$S=\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?




Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin bir türü olup İlham Aliyev hocamız tarafından da Faydalı Bir Eşitsizlik ismiyle Tübitak matematik olimpiyat kamplarında anlatılan bir eşitsizlik vardır. Bu eşitsizlik bazı Amerikalılar tarafından, (Hem ABD takımının önemli eğitmenlerinden Titu Andreescu'ya hem de yıkıcı gücüyle Terminatör 2'ye gönderme yapılarak) Titu's Lemma, T2 Lemma gibi isimlerle internette yayılmaya çalışılmıştır. (Bkz. Wikipedia ve AoPS.) Öte taraftan ulaşabildiğim kaynaklara göre faydalı eşitsizlikten 1997'de Rusça olarak Kvant dergisinde Ermeni matematikçi Nairi Sedrakyan bahsetmiştir. Fakat Kvant'daki yazıda hiçbir kaynakça yoktur. Garip biçimde Cauchy'ye bile referans verilmemiştir. Birileri de Wikipedia'daSedrakyan's inequality ismiyle başlık açmıştır. Fakat eşitsizliğin kitaplara girişi daha eski bir tarihe gidiyor. cut-the-knot sitesinde E. F. Beckenbach veR. Bellman'ın Inequalities (Springer, 1961) isimli kitabında Bergström's inequality ismiyle bulunduğu aktarılmaktadır. Eğer varsa, daha eski bir kaynağın varlığı ortaya çıkana kadar, Bergström Eşitsizliği isminin kullanılmasını teşvik ve tavsiye ediyoruz. Bugünkü bilgimizle eşitsizlik Bergström'e aittir. Örneğin buradaki gibi bilimsel dergilerde Bergström'e atıf yapıldığını ve Amer. Math. Montly, Vol. 62 (1955), 172–173 ile verilen kaynakçasında "An Inequality Due to Bergström" ismini görüyoruz. Yani bu eşitsizlik ile ilgili yazılı kayıtlar 1955'e kadar uzanmaktadır.



Çözüm:

Faydalı eşitsizlikten $ S=\dfrac{(a^2)^2}{b^2}+\dfrac{(b^2)^2}{c^2}+\dfrac{(c^2)^2}{a^2} \geq  \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$ olup $S \geq 1$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ iken sağlanır. Böylece $S_\min = 1$ sonucuna ulaşırız.


Son Güncelleme: 6 Eylül 2023.

xxTübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 01

Lokman Gökçe
Temmuz 09, 2021, 02:24:54 ös Gönderen: Lokman Gökçe
Görüntülenme: 4545 | Yorumlar: 1

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinden alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|BD|=|DE|=|EC|$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

$
\begin{array}{rcll}
\text{I.} & & s(\widehat{ADB})=s(\widehat{AEC}) \\
\text{II.} & & s(\widehat{BAC})=3 \cdot s(\widehat{DAE}) \\
\text{III.} & & |AD|=|CD| \\
\text{IV.} & & |AB|=|DE|
\end{array}$

ifadelerinden hangileri doğru olabilir?

$\text{a)}\ \text{I ve IV} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \text{I ve III}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \text{II ve IV}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \text{I ve II}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \text{I, III ve IV} $

xxTübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 01

Temmuz 09, 2021, 02:08:57 ös Gönderen: Metin Can Aydemir | Görüntülenme: 4702 | Yorumlar: 2

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $|CD|=6$, $|AC|=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ve $|BC|=2\sqrt{3}+2$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAC})=m (\widehat{DCB})$ ise, $|AB|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{6}-1
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

xxSayılar Teorisi Dersleri

Lokman Gökçe
Mart 02, 2021, 07:12:55 ös Gönderen: Lokman Gökçe
Görüntülenme: 5695 | Yorumlar: 0

YouTube üzerinden Sayılar Teorisi Dersleri içeriğinden hazırladığım video ders serisi takip edilebilir.

1. Asal Sayılar ve Tam Sayılar
2. Bölünebilme
3. Taban Aritmetiği
4. OBEB-OKEK, Euclid Algoritması ve Euler Phi Fonksiyonu

...

şeklinde konu başlıkları devam etmektedir. İyi çalışmalar. (Lokman GÖKÇE)

xxKardinalite ve Sayılabilir Kümeler

Kasım 23, 2020, 10:28:12 ös Gönderen: Metin Can Aydemir | Görüntülenme: 7444 | Yorumlar: 5

Bu konu başlığı altında "kardinalite 1-2-3" adı altında paylaştığım soru ve çözümleri toplayayıp hem bir konu anlatımı oluşturmak hem de farklı soruları aynı başlık adı altında paylaşmak istedim.

Kardinalitenin ne olduğundan bahsedelim. Bir $A$ kümesinin kardinalitesini onun eleman sayısı olarak düşünebiliriz yani $A=\{1,2,3,4\}$ için $Card(A)=4$ olacaktır (Bir kümenin kardinalitesinin farklı gösterimleri de vardır $\mid A \mid$, $n(A)$, $\# A$ gibi). Kümelerin kardinalitelerini karşılaştırmak bize o iki küme arasındaki tanımlanabilecek birebir, örten veya birebir örten fonksiyon olup olmadığı hakkında fikir verir. Örneğin, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$, $C=\{2,3,5\}$, $D=\{2,4,6,8\}$ gibi kümeler tanımlayıp bunların kardinalitelerini karşılaştıralım, $Card(A)=3$, $Card(B)=2$, $Card(C)=3$ ve $Card(D)=4$ olup $$Card(D)>Card(A)=Card(C)>Card(B)$$ olur.

$f:A\rightarrow B$ için Güvercin Yuvası İlkesine göre öyle $a,b\in A$ vardır ki $a\neq b$ ve $f(a)=f(b)$ olur. Yani $f$, birebir olamaz ama $f_1: B\rightarrow A$ için birebir bir fonksiyon bulabiliriz. Örneğin, $f_1=\{(3,1),(4,2)\}$ birebir bir fonksiyondur. Benzer şekilde $g: D\rightarrow A$ için birebir fonksiyon yokken $g_1: A\rightarrow D$ için $g_1=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$ fonksiyonu birebirdir. Buradan şunu gözlemleyebiliriz, $Card(Y)\geq Card(X)$ ise $X$'den $Y$'ye birebir bir fonksiyon tanımlayabiliyoruz (Bunun ispatını eklemeyeceğim fakat göstermek isteyenler için örnekte de kullandığımız gibi Güvercin Yuvası İlkesini kullanabilirsiniz).

Bu kümelerle örten bir fonksiyon tanımlayabilip tanımlayamayacağımıza bakalım. Eğer $h:X\rightarrow Y$ gibi bir fonksiyonumuz örten ise $Y$'nin her elemanının aynı zamanda görüntü kümesinde olması gerekir. Yani her $y\in Y$ için öyle bir $x\in X$ vardır ki $h(x)=y$ sağlanır. Dolayısıyla $X$ kümesinde daha fazla veya eşit sayıda elemanı olması gerekir (Sonsuz elemanlı kümelerde daha fazla elemanı olmasının ne anlama geldiğinden bahsedeceğiz). Dolayısıyla $Card(X)\geq Card(Y)$ olmalıdır (Bu ispattan $Card(X)\geq Card(Y)$ ise örten fonksiyon tanımlanabilir ifadesi çıkartılamaz ama aşağıda göstereceğimiz yolla bu da gösterilebilir).

$A$ ve $C$ kümelerinin kardinaliteleri eşittir ($Card(A)=Card(C)$). Yani yukarıda bahsettiğimiz gibi hem birebir hem de örten fonksiyon tanımlayabilmeliyiz. Gerçekten de $f: A\rightarrow C$ için $f=\{(1,2),(2,3),(3,5)\}$ olarak tanımlarsak $f$, birebir ve örten olmuş olur.

Sonlu sayıda eleman içeren kümeler için karşılaştırma yapabiliyoruz fakat kümeleri $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{N}$ gibi sonsuz elemanlı seçersek büyüklük karşılaştırması yapamayız. Bu durumda kardinaliteler arasındaki büyüklük, küçüklük veya eşitlik gibi ilişkileri daha farklı tanımlamalıyız. O yüzden aşağıdaki tanımları kullanabiliriz,

$1)$ Eğer $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon varsa $Card(A)=Card(B)$ olarak gösterilir. Eğer böyle bir fonksiyon yoksa $Card(A)\neq Card(B)$ olarak gösterilir. Burada şunları gözlemleyebiliriz,

$1a)$ Her $A$ kümesi için $Card(A)=Card(A)$'dır çünkü $f(x)=x$ birim fonksiyonu birebir ve örten olacaktır.

$1b)$ Her $A$ ve $B$ kümesi için $Card(A)=Card(B)$ ise $Card(B)=Card(A)$'dır çünkü $f$, $A$'dan $B$'ye tanımlı birebir ve örten bir fonksiyon ise $f^{-1}$ fonksiyonu da $B$'den $A$'ya tanımlı birebir ve örten bir fonksiondur.

$1c)$ Her $A$, $B$ ve $C$ kümeleri için $Card(A)=Card(B)$ ve $Card(B)=Card(C)$ ise $Card(A)=Card(C)$'dir. Bunu yukarıdaki sorudaki iddiada kullandığımız gibi bileşke fonksiyon kullanarak gösterebiliriz.

$2)$ Eğer $A$'dan $B$'ye tanımlı birebir bir fonksiyon varsa $Card(A)\leq Card(B)$'dir. Burada da şunu gözlemleyebiliriz,

$2a)$ Her $A$ ve $B$ için $Card(A)\leq Card(B)$ ise $B$'den $A$'ya örten bir fonksiyon tanımlayabiliriz çünkü $g$, $A$'dan $B$'ye birebir bir fonksiyon ise $R(g)$ görüntü kümesi, $a\in A$ ve $b\in B$ olmak üzere, $b\in R(g)$ ise $g_1(b)=g^{-1}(b)$ olarak ($g^{-1}(b)$'den kasıt $b$ değerine giden $A$ kümesi elemanıdır) ve $b\notin R(g)$ ise $g_1(b)=a$ olarak tanımlarsa $g_1$ fonksiyonu $B$'den $A$'ya tanımlı örten bir fonksiyon olur.

$2b)$ $A$, $B$ ve $C$ kümeleri için $Card(A)\leq Card(B)$ ve $Card(B)\leq Card(C)$ ise $Card(A)\leq Card(C)$ olur. Bunun ispatı ise $A$'dan $B$'ye birebir $f$ ve $B$'den $C$'ye birebir $g$ fonksiyonu için $g\circ f$, $A$'dan $C$'ye birebir fonsiyon olur.

$3)$ Eğer $Card(A)\leq Card(B)$ fakat $Card(A)\neq Card(B)$ ise $Card(A)<Card(B)$ olarak gösterilir.

Bu gösterimlerin sonlu sayıda elemana sahip kümeler için zaten doğru olduğu görülebilir ve bu yeni tanımlarla artık sonsuz elemanlı kümeleri de karşılaştırabiliriz.

Kardinalite konusunda en çok bilinenlerden biri $Card(\mathbb{R})\neq Card(\mathbb{N})$ olduğudur, bunun ispatını ekleyeceğim.

Not 1: $A$ ve $B$, $A\subseteq B$ şartını sağlayan kümeler olsun. $f: A\rightarrow B$ için $f(x)=x$ fonksiyonu birebir olacağından $Card(A)\leq Card(B)$ olacaktır Dolayısıyla $Card(\mathbb{N})\leq Card(\mathbb{R})$ olacaktır ayrıca $Card(\mathbb{R})\neq Card(\mathbb{N})$ olduğundan $Card(\mathbb{N})<Card(\mathbb{R})$ olacaktır.

Sayfalar: [1] 2 3 ... 6

* Son İletiler/Konular

Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 4 Gönderen: matematikolimpiyati
[Dün, 10:42:06 ös]


1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 03 Gönderen: Metin Can Aydemir
[Dün, 06:47:01 ös]


1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 01 Gönderen: Metin Can Aydemir
[Dün, 06:38:38 ös]


1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 3 Soru 02 Gönderen: Metin Can Aydemir
[Dün, 06:30:38 ös]


Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 1 Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ
[Dün, 08:32:06 öö]


2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21 Gönderen: Metin Can Aydemir
[Dün, 02:53:25 öö]


$x^3-y^3=xy+61$ denklemi Gönderen: alpercay
[Temmuz 18, 2024, 09:45:16 öö]


Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 6 Gönderen: matematikolimpiyati
[Temmuz 17, 2024, 06:40:17 ös]


Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 5 Gönderen: matematikolimpiyati
[Temmuz 17, 2024, 06:34:23 ös]


Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 3 Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ
[Temmuz 16, 2024, 06:26:11 ös]


Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 2 Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ
[Temmuz 16, 2024, 06:25:42 ös]


Baltic Way 1993 #18 Gönderen: geo
[Temmuz 16, 2024, 04:42:09 ös]


2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03 Gönderen: diktendik
[Temmuz 15, 2024, 11:30:15 ös]


2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09 Gönderen: diktendik
[Temmuz 15, 2024, 11:21:07 ös]


2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11 Gönderen: diktendik
[Temmuz 15, 2024, 10:52:39 ös]


* Kimler Çevrimiçi

  • Nokta Ziyaretçi: 61
  • Nokta Örümcek: 1
  • Nokta Gizli: 0
  • Nokta Üye: 0

Çevrimiçi kullanıcı bulunmuyor.

* En Çok İleti Gönderenler

Lokman Gökçe Lokman Gökçe
3.693 İleti
geo
2.553 İleti
matematikolimpiyati matematikolimpiyati
1.560 İleti
ERhan ERdoğan ERhan ERdoğan
1.424 İleti
Metin Can Aydemir
1.215 İleti

* Yönetim Ekibi

Mathopia admin Mathopia
Administrator
admin alpercay
Administrator
admin Ancestor
Administrator
Lokman Gökçe admin Lokman Gökçe
Administrator
admin foxmuld3r
Administrator
admin geo
Administrator
ERhan ERdoğan gmod ERhan ERdoğan
G.O Genel Moderator
gmod fegi
G.O Genel Moderator
gmod gahiax
G.O Genel Moderator
gmod Eray
G.O Genel Moderator
gmod Metin Can Aydemir
G.O Genel Moderator
gmod FEYZULLAH UÇAR
G.O Genel Moderator

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal