Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 19  (Okunma sayısı 3352 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 19
« : Mayıs 22, 2014, 08:13:30 ös »
$a+b+c+d+e+f=9$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e,f$ tam sayıları için, $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 11
$
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2014, 10:09:11 ös Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 19
« Yanıtla #1 : Mayıs 24, 2014, 02:21:41 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

$a^2+b^2+c^2+d^2+f^2=S$ diyelim. Karesel-Aritmetik Ortalama Eşitsizliği kullanılırsa, $\sqrt{\dfrac{S}{6}}≥\dfrac{9}{6}$, karesi alınıp düzenlenirse $S≥13,5$ bulunur. $a=b=c=2$ ve $d=e=f=1$ için $S=15$ sağlanır.
Öte yandan, $(a+b+c+d+e+f)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2(ab+ac+...+ef)$ yani $81-S=2(ab+ac+...+ef)$ eşitliğinde $a,b,c,d,e,f$ tamsayı olduğu için $S$ tek sayı olmalıdır. Yani $S$'nin en küçük değeri $15$'tir.
« Son Düzenleme: Şubat 11, 2015, 12:16:51 öö Gönderen: Eray »

Çevrimdışı Egemen

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 137
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 19
« Yanıtla #2 : Mayıs 28, 2014, 07:24:23 ös »
(Egemen Erbayat)

Cevap:$ \boxed C $


$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ en küçük değeri için sayıların hepsinin pozitif sayılar olması gerekir.
$a_1+1=a$, ($a_1$ doğal sayıdır.)( $b$,$c$,$d$,$e$,$f$ için de geçerlidir.)
$a_1+1+b_1+1+c_1+1+d_1+1+e_1+1+f_1+1=9$
$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$ en az 3 tanesi sıfırdır onlar $d_1$,$e_1$,$f_1$ sayıları olsun.
$a_1$,$b_1$,$c_1$ sayıları 1,1,1; 2,1,0; 3,0,0 olabilirler. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2={a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2+2(a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1)+6$

$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$
 $12+{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2$'nın minimum değerini bulmamız gerekir.

 $a_1+b_1+c_1=3$ $d_1=e_1=f_1=0$ olduğu için ${a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2$ minimum değerini bulmamız gerekir. En küçük değeri için her sayının pozitif olması gerekmektedir ve sağlayan tek durum vardır.
$a_1=b_1=c_1=1$'dir
$a=b=c=2$, $d=e=f=1$'dir. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=15$  olur.
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2014, 10:09:07 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal