Gönderen Konu: Üstlü sayılar  (Okunma sayısı 91 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 872
  • Karma: +14/-0
Üstlü sayılar
« : Ocak 23, 2023, 12:11:51 öö »
$x^{x^3}=36$ ise $x$ değeri kaçtır?

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 726
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üstlü sayılar
« Yanıtla #1 : Ocak 23, 2023, 01:54:27 öö »
Üç durumda inceleyelim,

$x=0$ ise çözüm gelmediği açıktır.

$x>0$ ise her tarafın $\ln$'ini alalım. $$x^3\ln{x}=\ln{36}$$ Bariz şekilde $x>1$ olmalıdır çünkü aksi takdirde sol taraf negatif olacaktır. $x^3$ ve $\ln{x}$ artan olduğundan sol taraf artandır. Dolayısıyla denklemin en fazla bir çözümü vardır. $x=6^a$ dersek, $$6^{a6^{3a}}=6^2\implies a6^{3a}=2\implies a=\frac{1}{3}$$ Yani sadece $x=\sqrt[3]{6}$ çözümünü elde ederiz.

$x<0$ ise $x=-y$ yazalım. Bu durumda denklem $$(-y)^{-y^3}=(-1)^{y^3}\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ Negatif bir sayının kuvvetinin tanımlı ve pozitif olması için $y^3$'ün rasyonel ve $\frac{2a}{2b+1}$ formatında olması gerekir (çift bölü tek). Bunu not alırsak, denklemimiz $$\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ olur. Her tarafın $\ln$'ini alırsak, $f(y)=-y^3\ln{y}=\ln{36}$ elde ederiz. $f(y)$'nin pozitif olması için $y\in (0,1)$ olmalıdır. $$f'(y)=-3y^2\ln{y}-y^2$$ olur ve $f'(y)=0 \iff y=e^{-1/3}$ olacağından ve sınırlardaki limit $0$ olduğundan maksimum değer $y=e^{-1/3}$ noktasında alınır. Yani $$\max f(y)=f(e^{-1/3})=\frac{1}{3}e^{-1}$$ olduğundan $f(y)=\ln{36}$ denkleminin çözümü yoktur.

Tek çözüm $\boxed{x=\sqrt[3]{6}}$'dır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 872
  • Karma: +14/-0
Ynt: Üstlü sayılar
« Yanıtla #2 : Ocak 26, 2023, 04:55:16 ös »
Güzel ve açık bırakmayan çözüm için teşekkürler. Ortaokul-lise düzeyinde şöyle çözülebilir:

$36=6^2=((6^{1/3})^3)^2=(6^{1/3})^6=x^{x^3}$ olarak yazılırsa  $$x=6^{1/3}$$ bulunur.
« Son Düzenleme: Ocak 26, 2023, 04:58:32 ös Gönderen: alpercay »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal