Pozitif Bölenlerin Çarpımı

[Lokman Gökçe]

Problem: $n$ pozitif tam sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı $d(n)$ ise pozitif tam bölenlerinin çarpımının $ n^{\frac{d(n)}{2}} $ olduğunu ispatlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Eğer $n=1$ ise $d(n)=1$'dir ve pozitif bölenlerin çarpımı $n^{\frac{d(n)}{2}}=1$ olur ve doğrudur. Eğer $n>1$ ise $n$'yi asal çarpanlarına ayırabiliriz. $$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$$ dersek $d(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ olduğunu biliyoruz. $n$'nin her böleni $t_j\in \{0,1,\dots, a_j\}$ için $d=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_k^{t_k}$ formatındadır. Bu sayıların çarpımı $$p(n)=\prod_{t_k=0}^{a_k}\cdots\prod_{t_2=0}^{a_2} \prod_{t_1=0}^{a_1}p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_k^{t_k}$$ olacağından ve eğer $i\neq j$ ise $$\prod_{t_j=0}^{a_j}p_j^{t_j}=p_j^{0+1+\cdots+a_j}=p_j^{\frac{a_j(a_j+1)}{2}}~~~\text{ve}~~~ \prod_{t_j=0}^{a_j}p_i^{t_i}=p_i^{t_i(a_j+1)}$$ olduğundan $$\prod_{t_k=0}^{a_k}\cdots \prod_{t_2=0}^{a_2} \prod_{t_1=0}^{a_1}p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_k^{t_k}=\prod_{t_k=0}^{a_k}\cdots\prod_{t_3=0}^{a_3} \prod_{t_2=0}^{a_2}p_1^{\frac{a_1(a_1+1)}{2}}p_2^{t_2(a_1+1)}\cdots p_k^{t_k(a_1+1)}$$ olur ve bu şekilde ilerlersek $$p(n)=\prod_{r=1}^{k} p_r^{\frac{a_r}{2}(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)}=\prod_{r=1}^{k} p_r^{\frac{a_r}{2}d(n)}=(\prod_{r=1}^{k} p_r^{\frac{a_r}{2}})^{d(n)}=n^{\frac{d(n)}{2}}$$ elde edilir.

Not: Eğer $d(n)$ formülünü de elde etmek gerekiyorsa ona da şöyle bir ispat verebiliriz. Tanımı gereği $d(n)=\sum_{d\mid n}1$ olduğunu görebiliriz. $m$ ve $n$ aralarında asal iki pozitif tamsayı olsun. O halde $mn$ sayısının her bölenini $d_1\mid m$ ve $d_2\mid n$ olacak şekilde tek bir şekilde $d_1d_2$ olarak yazabiliriz. $$d(mn)=\sum_{d\mid mn} 1=\sum_{d_1\mid m, d_2\mid n} 1=\left(\sum_{d_1\mid m} 1\right)\left(\sum_{d_2\mid n} 1\right)=d(m)d(n)$$ olduğunu görürüz. Eğer $n=1$ ise $d(n)=1$'dir. Eğer $n=p^a$ ise bölenleri $1,p,p^2,\dots,p^a$ olacağından $d(n)=a+1$'dir. Eğer $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ise $$d(n)=d(p_1^{a_1})d(p_2^{a_2})\cdots d(p_k^{a_k})=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$$ elde edilir.

[alpercay]

Ben de matkafasinda Sercan hocamdan öğrendiğim bir çözümü paylaşayım:

$n$ sayisinin bir böleni $b_1$ sayisi ise $b'_1=\dfrac{n}{b_1}$ sayisi da bir bölenidir ve bunların çarpımı $n$ dir. Sayının $d(n)$ tane pozitif çarpanı olduğundan $$(b_1,b'_1),...,(b_n,b'_n)$$ şeklinde çarpımları $n$ olan çift halinde $\dfrac{d(n)}{2}$ tane çarpanı olacağından bunların çarpımı $$b_1b'_1...b_nb'_n=n^{\dfrac{d(n)}{2}}$$ olur.

[Lokman Gökçe]

Teşekkürler Alper hocam. Benzer bir çözüm şöyle yapılabilir:

$P = \displaystyle{ \prod_{m\mid n} m = \prod_{m\mid n} \dfrac{n}{m} }$ olduğundan $P^2 = \displaystyle{  \prod_{m\mid n}\left( m \cdot \dfrac{n}{m}\right) =   \prod_{m\mid n} n  = n^{d(n)}}$ olur. Buradan, $P = n^{d(n)/2}$ elde edilir.

[Eray]

Ben de matkafasinda Sercan hocamdan öğrendiğim bir çözümü paylaşayım:

$n$ sayisinin bir böleni $b_1$ sayisi ise $b'_1=\dfrac{n}{b_1}$ sayisi da bir bölenidir ve bunların çarpımı $n$ dir. Sayının $d(n)$ tane pozitif çarpanı olduğundan $$(b_1,b'_1),...,(b_n,b'_n)$$ şeklinde çarpımları $n$ olan çift halinde $\dfrac{d(n)}{2}$ tane çarpanı olacağından bunların çarpımı $$b_1b'_1...b_nb'_n=n^{\dfrac{d(n)}{2}}$$ olur.

Güzel bir çözüm, teşekkürler hocam.

Kolayca halledilebilecek bir nokta, ancak zikretmekte fayda var:
$n$ sayısının tamkare olduğu durumda $(b_i,b_i')$ çiftlerinden birisi aynı iki böleni içeriyor.
Bir başka ifadeyle, $b_i = \sqrt n$ için $(b_i,b_i') = (\sqrt n, \sqrt n)$ olduğundan $b_1b_1'\ldots b_k b_k'$ çarpımı $\sqrt n$ bölenini iki defa hesaba içerecektir.

Bu özel durumu ayriyeten ele alarak çözümün bu eksiğini giderebiliriz. $n$ sayısının tamkare olduğu durum için pozitif tam bölenlerinin çarpımı, $k=\dfrac{d(n) + 1}{2}$ olmak üzere,
$\dfrac{b_1b_1'\ldots b_k b_k'}{\sqrt n} = \dfrac{n^k}{n^{1/2}} = n^{k-\frac 1 2} = n^{d(n)/2}$
olur. Dolayısıyla $n$ sayısının tamkare olduğu durum için de olmadığı durum için de netice istendiği gibidr.

[alpercay]

Evet haklısınız. Sayı tam kare olduğunda bölen sayısı tek sayı olduğundan çiftlere katamadığımız tam ortada bir $\sqrt{n} $ sayısı kalıyor; fakat sonuç değişmediğinden dikkate almadım. Teşekkür ediyorum.

[geo]

$\sqrt n$ in sorun çıkarttığını düşünmüyorum.
Sadece bazı ifadeler yanlış.

...
Sayının $d(n)$ tane pozitif çarpanı olduğundan $$(b_1,b'_1),...,(b_n,b'_n)$$ şeklinde çarpımları $n$ olan çift halinde $\dfrac{d(n)}{2}$ tane çarpanı olacağından bunların çarpımı $$b_1b'_1...b_nb'_n=n^{\dfrac{d(n)}{2}}$$ olur.

Çift sayısı $\dfrac{d(n)}{2}$ değil, $d(n)$ olacak.
Ondan sonra Lokman Hoca'nınki gibi $P^2= n^{d(n)}$ denkleminden sonuca gidebiliriz.

[Eray]

$\sqrt n$ in sorun çıkarttığını düşünmüyorum.
Sadece bazı ifadeler yanlış.
...
Çift sayısı $\dfrac{d(n)}{2}$ değil, $d(n)$ olacak.
Ondan sonra Lokman Hoca'nınki gibi $P^2= n^{d(n)}$ denkleminden sonuca gidebiliriz.

$(b_1,b'_1),...,(b_k,b'_k)$ çiftlerini, bu $2k$ bölen içerisinde her bölen tam olarak $1$ kere geçecek şekilde yazarsak $\sqrt n$ böleni iki kere yazılması gerektiğinden sorun çıkartıyor. alpercay hocamın yazdığı ilk çözümdeki yol böyleydi yanlış anlamıyorsam, o sebeple belirtmek istedim.

Ancak dediğiniz gibi her bölen tam olarak $2$ kere geçecek şekilde yazarsak (tam olarak $1$ kere solda ve $1$ kere sağda), bunları düşünmeye hiç gerek kalmıyormuş. $n$ nin tamkare olup olmamasından bağımsız olarak $P^2= n^{d(n)}$ ifadesi isteneni veriyor. Elinize sağlık, teşekkürler hocam.