Düzgün n-gende Alan(ABF)=Alan(ACE) Eşitliği {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Lise matematik olimpiyatı 1. aşama düzeyi için orta zorlukta bir sorudur.

Problem [Lokman GÖKÇE]: Kenar uzunluğu $1$ birim olan bir düzgün $n$-genin bir $A$ köşesinden harekete başlandığında kenarlar üzerinde pozitif yönde $1$ birim ilerlenirse $B$ noktasına, $2$ birim ilerlenirse $C$ noktasına, $4$ birim ilerlenirse $E$ noktasına, $5$ birim ilerlenirse $F$ noktasına ulaşılıyor. $ABF$ ve $ACE$ üçgenlerinin alanları eşit olduğuna göre, $n$ nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

[matematikolimpiyati]

$ \sin {5 \alpha}$ nın $ \sin {\alpha}$ türünden değerini kullanarak sonuca giden bir yöntem buldum ancak oldukça işlem kalabalığı var. Sanırım sadece düzgün onikigen istenen durumu sağlıyor.

[Lokman Gökçe]

Kenar sayısı $6$ dan küçük olan düzgün çokgenleri de çizerek deneyiniz. Bir tane daha durum gelecektir.

[matematikolimpiyati]

O durumda da eşkenar üçgen sağlıyor.

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{CED})= \alpha$ olsun. Düzgün çokgendeki açı özelliklerini kullanarak diğer açıları da şekildeki gibi yerleştirebiliriz. Bu durumda

   $ \color{red}{i)}\ CED$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|CE|=2 \cos \alpha$

   $ \color{red}{ii)}\ AEC$ üçgeninde $[AE]$ ye ait yükseklik $|CH|= 2 \cos \alpha \sin 2\alpha$

   $ \color{red}{iii)}\ ABF$ üçgeninde $[BF]$ ye ait yükseklik $|AG|=\sin 5 \alpha$

ifadelerini yazabiliriz. Aynı zamanda $[AE]$ ve $[BF]$ köşegenleri eşit olduğu için üçgenlerin yüksekliklerinin eşitliği durumuna bakmamız yeterlidir.

$|AG|=|CH|$

$\sin 5 \alpha = 2 \cos \alpha \sin 2 \alpha$

$16 \sin^5 \alpha - 20 \sin^3 \alpha + 5 \sin \alpha = 2 \cos \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$16 \sin^5 \alpha - 20 \sin^3 \alpha + 5 \sin \alpha = 4 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$

$16 \sin^5 \alpha - 16 \sin^3 \alpha +  \sin \alpha = 0$

$16 \sin^4 \alpha - 16 \sin^2 \alpha + 1 = 0 \implies 16 \sin^2 \alpha - 16 \sin^4 \alpha =1 \implies 16 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha =1 \implies (\sin 2 \alpha)^2=\dfrac14 \implies \sin 2 \alpha = \pm \dfrac12$

Düzgün çokgen açılarını da düşündüğümüzde denklemi sağlayan tek değerin $\alpha = 15^{\circ}$ olduğunu görüyoruz. Bu durumda düzgün çokgenin $\dfrac{360^{\circ}}{30^{\circ}}=12$ kenarlı olduğunu söyleyebiliriz.

[Lokman Gökçe]

Sorunun Oluşum Aşamaları: Bu kısımdan bahsedersek fikir verici olur. Düzgün çokgenlerdeki birbirine eş olmayan üçgenlerin sayısını veren kod yazımı ile ilgili sorduğum buradaki problemde  üretilen ilk fikirlerden biri, üçgenlerin alanlarını karşılaştırma yöntemi idi. Fakat bu yöntemin bir riski var: üçgenler eş olmadığı halde alanları eşit olabilirdi. Aşağıdaki şekilde düzgün $12$-gendeki oluşabilecek $12$ üçgeni görüyoruz. Bunlardan $4.$ ve $6.$ üçgenler eş olmamakla beraber alanları eşit oluyor.

Dolayısıyla, yeni bir soru olarak eşit alanlı üçgen bulma fikri oluştu. $n=12$ için bir çözüm olduğunu biliyoruz. Daha başka değerlerde de çözüm çıkması için $n<6$ durumunda "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşturacak biçimde biraz daha hikaye yazmak gerekiyordu. Aslında çokgenin kenar uzunluğunun $1$ birim olması çok önemli değildir, yürüme hamlelerini daha iyi biçimde açıklamak içindir. Şimdi çözüme geçelim.


Yanıt: $\boxed{15}$

Çözüm: $n=3$ durumunda $ABC$ eşkenar üçgenini çizersek $ABF$ ve $ACE$ eşkenar üçgen olduğu için istenen sağlanır. $n=4$ veya $n=5$ durumlarında bir alan eşitliği oluşmadığını görmek kolaydır.

$n\geq 6$ olsun. Artık "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşmayacaktır. Düzgün çokgeni $ABCDEF\dots $ ile gösterelim. Yarıçapı $R$ olan çevrel çemberi çizerek her bir kenarı gören çevre açıyı $\alpha$ ile gösterelim. $0 < \alpha \leq 30^\circ$ dir. Elbette $m(\stackrel{\frown}{AB}) = 2\alpha$ olduğundan düzgün çokgenin bir dış açı ölçüsü $\theta = 2\alpha$ dır. $m(\widehat{AFB})=\alpha$, $m(\widehat{FAB}) = 4\alpha$ olur. Üçgenin alanının, kenarlar çarpımının çevrel çemberin yarıçapının $4$ katına bölümüne eşit olduğunu bilgisini ve sinüs teoremini kullanarak; $Alan(ABF) = 2R^2 \sin(\alpha)\sin(4\alpha)\sin(5\alpha) $ yazabiliriz. Benzer şekilde $Alan(ACE) = 2R^2 \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) $ olur. $Alan(ABF) = Alan(ACE)$ verildiğinden,

$$ \sin(\alpha)\sin(4\alpha)\sin(5\alpha) =  \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) $$

yazılır.  $0 < \alpha \leq 30^\circ$ olduğundan $\sin(4\alpha) >0 $ olur. Denklemi $\sin(4\alpha) $ ile sadeleştirerek

$$ \sin(\alpha)\sin(5\alpha) =  \sin(2\alpha)\sin(2\alpha)$$

yazabiliriz. $\sin(x)\sin(y) = \dfrac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$ olduğundan

$$ \begin{split} \cos(4\alpha) - \cos(6\alpha) &= \cos 0  - \cos (4\alpha) \\
\implies \cos(2\theta) - \cos(3\theta) &= 1  - \cos (2\theta)
\end{split}
$$

olur. $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ ve $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ özdeşlikleri kullanılır ve $x= \cos(\theta)$ denirse

$$ 4x^3 - 4x^2 -3x + 3 = 0$$

denklemi elde edilir. $0<x<1$ aralığında bu denklemi çözelim. $4x^2(x-1) - 3(x-1)=0 \implies (x-1)(4x^2 - 3) =0$ olup $x=\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ bulunur. $\theta = 30^\circ$ olup çokgenin kenar sayısı $n=\dfrac{360}{30}= 12$ dir.

Böylece $n$ nin alabileceği değerler toplamı $3+12=\boxed{15}$ elde edilir.