Gönderen Konu: Eş çemberler  (Okunma sayısı 271 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2021
  • Karma: +9/-0
Eş çemberler
« : Haziran 16, 2022, 08:52:58 öö »
$A$  merkezli $B$ den geçen çemberle $B$ merkezli $A$ dan geçen çember $C$ noktasında kesişmektedir. $\overset{\Huge\frown}{AC}$ küçük yayı üzerinde $D$, $\overset{\Huge\frown}{BC}$ küçük yayı üzerinde $DE \parallel AB$ olacak şekilde $E$ noktası alınıyor. $DE$ doğrusu ile $A$ ve $B$ merkezli çemberler ikinci kez sırasıyla $F$ ve $G$ noktalarında kesişsin.

  • $AD^2 + BF^2$ toplamının $D$ nin seçiminden bağımsız olduğunu gösteriniz.
  • $m(\overset{\Huge\frown}{AD}) = m(\overset{\Huge\frown}{DC})$ ise $FG/AB$ nedir?
« Son Düzenleme: Haziran 16, 2022, 09:24:07 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1028
  • Karma: +3/-0
Ynt: Eş çemberler
« Yanıtla #1 : Ocak 25, 2023, 01:30:17 öö »
Çözüm:

a)

Eş çemberlerin yarıçaplarına $R$ diyelim ve $AB$ doğrusunun $A$ merkezli çemberi $B$'den farklı kestiği nokta $H$ olsun.

$|FA|=|AB|=|BD|=R$ ve $DE // AB$ olduğundan $|FD|=R$ olur ve böylece $ABDF$'nin bir eşkenar dörtgen olduğunu söyleyebiliriz.

$\implies m(\widehat{DBA})=m(\widehat{FAH}) \implies \triangle{DBA} \cong \triangle{FAH} \implies |AD|=|HF|$

Aynı zamanda $A$ merkezli çemberde çapı gördüğü için $\angle{HFB}$ dik açıdır.

$HFB$ dik üçgeninde pisagordan $HF^2+BF^2=AD^2+BF^2=4R^2$ elde ederiz. Böylece istenen toplamın $D$ noktasının seçiminden bağımsız olduğu sonucuna ulaşırız.



b)

$m(\overset{\Huge\frown}{AD}) = m(\overset{\Huge\frown}{DC}) \implies m(\widehat{ABD})=m(\widehat{BDG})=30^{\circ}$ olur ve $BDG$ üçgeni $30^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ}$ açılarına sahip olup $|DG|=R\sqrt3$'tür.

$\dfrac{|FG|}{|AB|}=\dfrac{R+R\sqrt3}{R}=1+\sqrt3$ elde edilir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal