$AE/AB = AD / AC = \dfrac 13$ olduğu için $DE \parallel BC$.
$AF$ ile $BC$, $N$ de kesişsin. $DE$ ile $AF$, $P$ de kesişsin.
$NF:FP:PA=3:1:2$ olacağı için $3PF = AF = 3GF$. Yani $G=P$ dir.
Benzer sonucu $\triangle ABF$ ve $E,G,D$ noktaları için Menelaus uyguladığımızda da elde ederiz.
$AN$ kenarortaydır. ($\triangle ABC$ de $F$ noktası için Ceva uyguladığımızda $BN=CN$ elde ederiz.)
Dolayısıyla $EG = GD$ elde ederiz.
Soru bundan sonra şu şekle bürünmüş oluyor:$ABC$ üçgeninde $AC$ ve $AB$ kenarları üzerinde $DE \parallel BC$ olacak şekilde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınsın. $DE$ nin orta noktası $G$ ise $BG^2 - CG^2 = \dfrac {BE}{AB} \cdot (AB^2 - AC^2)$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:$A, D, E, G$ noktalarının $BC$ üzerindeki izdüşümleri sırasıyla $H, K, L, M$ olsun.
$AB^2 - AC^2 = BH^2 - CH^2 = BC\cdot (BH - CH)$
$BG^2 - CG^2 = BM^2 - CM^2 = (BL + LM)^2 - (CK + KM^2) = BC \cdot (BL + LM - CK - KM) = BC \cdot (BL - CK)$
$BL = BH \cdot \dfrac {BE}{AB}$ ve $CK = CH \cdot \dfrac {CD}{AC}$ olduğu için $$\dfrac {BG^2 - CG^2}{AB^2-AC^2} = \dfrac {BE}{AB}$$ elde edilir. $\blacksquare$
Orijinal soruda yerine yazarsak $BG^2 - CG^2 = \dfrac {BE}{AB} (AB^2 - AC^2) = \dfrac 23 (14^2 - 8^2) = \dfrac 23 \cdot 6 \cdot 22 = 88$ elde ederiz.