Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 4

[ERhan ERdoğan]

• Tweet

$\cos^{2}x + \cos^{2}2x + \cos^{2}3x = 1$ denklemini çözünüz.

[Metin Can Aydemir]

• Tweet

$\cos{2x}$ ve $\cos{3x}$ fonksiyonları $\cos{x}$ cinsinden yazılabilir. $$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1$$ $$\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}$$ Yani $\cos{x}=y$ dersek, çözmemiz gereken denklem $$y^2+(2y^2-1)^2+(4y^3-3y)^2=1\iff 16y^6-20y^4+6y^2=2y^2(2y^2-1)(4y^2-3)=0$$ Yani kökler $y=0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ elde edilir. $\cos{x}=y$ yazarsak, $$\boxed{x=n\pi-\frac{\pi}{2},~~ n\pi \pm \frac{\pi}{4}, ~~ n\pi\pm \frac{\pi}{6}}$$ bulunur.