Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 2  (Okunma sayısı 1828 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 2
« : Haziran 04, 2014, 03:26:15 ös »
$$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1} > \dfrac{1}{2}$$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarını belirleyiniz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 726
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 2
« Yanıtla #1 : Ocak 21, 2023, 05:24:00 öö »
Öncelikle kareköklerin tanımlı olması için $x\in [-1,3]$ olması gerektiğini not alalım. Verilen eşitsizliği düzenleyelim. $$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1} > \frac{1}{2}\iff 3-x >\left(\frac{1}{2}+\sqrt{x+1}\right)^2=\frac{1}{4}+\sqrt{x+1}+x+1$$ $$\iff \frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}$$ Son eşitsizliğin sağlanması için $x<\frac{7}{8}$ olması gerektiğini görebiliriz. Dolayısıyla $x\in \left[-1,\frac{7}{8}\right)$ olmalıdır. Bu aralık için $$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}\iff 4x^2+\frac{49}{16}-7x>x+1\iff 4x^2-8x+\frac{33}{16}>0$$ $$\iff x^2-2x+1>1-\frac{33}{64}=\frac{31}{64}\iff |x-1|>\frac{\sqrt{31}}{8}$$ $x<\frac{7}{8}<1$ olduğundan $|x-1|=1-x$ olacaktır. Buradan da $$1-x>\frac{\sqrt{31}}{8}\iff 1-\frac{\sqrt{31}}{8}>x$$ elde edilir. $1-\frac{\sqrt{31}}{8}<\frac{7}{8}$ olduğundan $x$'in en geniş aralığı $\boxed{\left[-1,1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right)}$ bulunur.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 05:09:17 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal