Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 3  (Okunma sayısı 1952 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 3
« : Haziran 04, 2014, 03:20:53 ös »
$n$ doğal sayı olmak üzere, $\cos^n{x}-\sin^n{x}=1$ denklemini çözünüz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 726
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 3
« Yanıtla #1 : Ocak 21, 2023, 02:25:29 öö »
$n=1$ için $\cos{x}-\sin{x}=1$ denklemini çözmemiz gerekiyor. $$\cos{x}-\sin{x}=\sqrt{2}\sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=1\implies \sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}$$ Buradan da $k\in\mathbb{Z}$ için $x=2k\pi$ ve $x=2k\pi-\frac{\pi}{2}$ çözümlerini buluruz.

$n=2$ için $\cos^2x-\sin^2x=\cos{(2x)}=1$ ve $k\in\mathbb{Z}$ için $x=k\pi$ çözümü elde ederiz.

$n\geq 3$ için $f_n(x)=\cos^n{x}-\sin^n{x}$ diyelim. $$f'_n(x)=-n\sin{x}\cos{x}(\sin^{n-2}x+\cos^{n-2}x)$$ elde ederiz. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için kritik noktalarını bulmamız gerekiyor. $$f'_n(x)=0\iff \sin{x}=0 \text{  veya  }\cos{x}=0\text{  veya  }\sin^{n-2}x+\cos^{n-2}x=0$$ $$\iff x=k\pi\text{  veya  } x=k\pi-\frac{\pi}{2} \text{  veya  } \tan^{n-2}x=-1$$ Eğer $n$ çiftse sadece $x=k\pi$ ve $x=k\pi-\frac{\pi}{2}$ elde ederiz. Eğer $n$ tekse, $\tan^{n-2}{x}=-1$'den $\tan{x}=-1$ ve $x=k\pi-\frac{\pi}{4}$ kökü de eklenir. $$f_n(k\pi)=\cos^n{(k\pi)}-\sin^n{(k\pi)}=(-1)^{nk}$$ $$f_n\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)=\cos^n{\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)}-\sin^n{\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)}=(-1)^{n(k+1)+1}$$ ve eğer $n$ tekse $$f_n\left(k\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\cos^n{\left(k\pi-\frac{\pi}{4}\right)}-\sin^n{\left(k\pi-\frac{\pi}{4}\right)}=\begin{cases}
        \frac{2}{2^{n/2}} & \text{eğer } k \text{ çiftse}\\
        -\frac{2}{2^{n/2}} & \text{eğer } k \text{ tekse}
    \end{cases}$$ Yani $f_n$'in alabileceği maksimum değer $1$'dir. $1$ değerini de kritik noktalarda alır. Bu durumda,

$n\geq 3$ için $f_n(x)=1$ denkleminin çözümleri,

$n$ tekse $x=2k\pi$, $x=2k\pi-\frac{\pi}{2}$ ve $n$ çiftse $x=k\pi$ çözümü elde edilir.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 05:08:41 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal