Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 1  (Okunma sayısı 1868 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 1
« : Haziran 04, 2014, 03:19:12 ös »
$a$ ve $b$ sabit sayılar olmak üzere, $$\begin{array}{rcl}
x+y+z &=& a \\
x^2+y^2+z^2 &=& b^2 \\
xy &=& z^2
\end{array}$$ denklem sistemini çözünüz. Denklem sisteminin çözümleri olan $x,y,z$ 'nin farklı pozitif sayılar olması için $a$ ve $b$ 'nin sağlaması gereken şartları belirtiniz. 
« Son Düzenleme: Haziran 05, 2014, 09:51:31 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 726
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1961 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ocak 21, 2023, 05:08:12 öö »
Eğer $xy+yz+xz$ ifadesini hesaplamaya çalışırsak, $$2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=a^2-b^2$$ $$\implies z^2+yz+xz=z(x+y+z)=az=\frac{a^2-b^2}{2}$$

Eğer $a=0$ ise $a^2=b^2=0$ elde edilir. Yani $x^2+y^2+z^2=0$ olur. Buradan $(x,y,z)=(0,0,0)$ çözümü bulunur. Eğer $x,y,z$'nin reel olma şartı yoksa $$x+y=-z\implies x^2+y^2+(x+y)^2=0\implies x^2+y^2+xy=0\implies \left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+1=0$$ $$\implies \frac{x}{y}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\implies (x,y,z)=\left(\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}t, t, \frac{-1 \mp i\sqrt{3}}{2}t\right)$$

Eğer $a\neq 0$, o zaman $z=\dfrac{a^2-b^2}{2a}$. Yerine yazarsak $$x+y=a-z=\frac{a^2+b^2}{2a}$$ $$xy=z^2=\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}$$ Eğer $y=\frac{a^2+b^2}{2a}-x$ yazarsak, $$x\left(\frac{a^2+b^2}{2a}-x\right)=-x^2+x\frac{a^2+b^2}{2a}=\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}\implies x^2-x\frac{a^2+b^2}{2a}+\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}=0$$ $$\implies x^2-2x\frac{a^2+b^2}{4a}+\frac{(a^2+b^2)^2}{16a^2}=\frac{(a^2+b^2)^2}{16a^2}-\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}=\frac{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}{16a^2}$$ $$\implies x=\frac{(a^2+b^2)\pm \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a}$$ Yani çözüm, $$(x,y,z)=\left(\frac{(a^2+b^2)\pm \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a}, \frac{(a^2+b^2)\mp \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a},\frac{a^2-b^2}{2a}\right)$$ bulunur.  Eğer $x,y,z>0$ olmasını istiyorsak, $$a^2>b^2 \text{  ve  } a^2+b^2> \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}$$ olmalıdır. $3b^2>a^2$ olması gerektiğini de not alalım (eşitlik durumunda $x=y$ olur). $$a^2+b^2>\sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}\iff (a^2+b^2)^2>(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)\iff 4(a^2-b^2)^2>0$$ olur. Yani sadece $3b^2>a^2>b^2$ şartı ile $x,y,z$ pozitif olur ve $x\neq y$ olur. Verilen son eşitlikten, eğer $x=z$ ise $x=y=z$ olması gerektiği görülebilir (pozitif olduklarından dolayı).

Sonuç olarak $x,y,z$'nin farklı pozitif sayılar olması için $3b^2>a^2>b^2$ olması yeterlidir.
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2023, 05:08:19 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal