Eğer $xy+yz+xz$ ifadesini hesaplamaya çalışırsak, $$2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=a^2-b^2$$ $$\implies z^2+yz+xz=z(x+y+z)=az=\frac{a^2-b^2}{2}$$
Eğer $a=0$ ise $a^2=b^2=0$ elde edilir. Yani $x^2+y^2+z^2=0$ olur. Buradan $(x,y,z)=(0,0,0)$ çözümü bulunur. Eğer $x,y,z$'nin reel olma şartı yoksa $$x+y=-z\implies x^2+y^2+(x+y)^2=0\implies x^2+y^2+xy=0\implies \left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+1=0$$ $$\implies \frac{x}{y}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\implies (x,y,z)=\left(\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}t, t, \frac{-1 \mp i\sqrt{3}}{2}t\right)$$
Eğer $a\neq 0$, o zaman $z=\dfrac{a^2-b^2}{2a}$. Yerine yazarsak $$x+y=a-z=\frac{a^2+b^2}{2a}$$ $$xy=z^2=\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}$$ Eğer $y=\frac{a^2+b^2}{2a}-x$ yazarsak, $$x\left(\frac{a^2+b^2}{2a}-x\right)=-x^2+x\frac{a^2+b^2}{2a}=\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}\implies x^2-x\frac{a^2+b^2}{2a}+\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}=0$$ $$\implies x^2-2x\frac{a^2+b^2}{4a}+\frac{(a^2+b^2)^2}{16a^2}=\frac{(a^2+b^2)^2}{16a^2}-\frac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}=\frac{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}{16a^2}$$ $$\implies x=\frac{(a^2+b^2)\pm \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a}$$ Yani çözüm, $$(x,y,z)=\left(\frac{(a^2+b^2)\pm \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a}, \frac{(a^2+b^2)\mp \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}}{4a},\frac{a^2-b^2}{2a}\right)$$ bulunur. Eğer $x,y,z>0$ olmasını istiyorsak, $$a^2>b^2 \text{ ve } a^2+b^2> \sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}$$ olmalıdır. $3b^2>a^2$ olması gerektiğini de not alalım (eşitlik durumunda $x=y$ olur). $$a^2+b^2>\sqrt{(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)}\iff (a^2+b^2)^2>(3b^2-a^2)(3a^2-b^2)\iff 4(a^2-b^2)^2>0$$ olur. Yani sadece $3b^2>a^2>b^2$ şartı ile $x,y,z$ pozitif olur ve $x\neq y$ olur. Verilen son eşitlikten, eğer $x=z$ ise $x=y=z$ olması gerektiği görülebilir (pozitif olduklarından dolayı).
Sonuç olarak $x,y,z$'nin farklı pozitif sayılar olması için $3b^2>a^2>b^2$ olması yeterlidir.
